Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
\left\{n^{2} e^{-n}\right\}

Passo 1

O enunciado dá a sequência \{n^{2} e^{-n}\} (isto é, o termo geral é a_n = n^{2} e^{-n}) e pede para determinar se ela converge ou diverge e, se convergir, encontrar o limite. Informações úteis fornecidas:
  • O n é um inteiro que vai para o infinito ( n\to\infty).
  • O termo geral é \;a_n = n^{2} e^{-n}.

Passo 2

Idéia do método (sem resolver ainda): mostrar que o fator exponencial e^{-n}=(e^{-1})^{n} decai exponencialmente, e que essa decaída vence o crescimento polinomial n^{2}. Uma forma elementar e rigorosa de provar isso é estudar a razão entre termos consecutivos \dfrac{a_{n+1}}{a_n}. Se essa razão tende a um número menor que 1, os termos acabam decaindo geometricamente a partir de algum índice, o que implica convergência para zero.

Passo 3

Calcular a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{2} e^{-(n+1)}}{n^{2} e^{-n}} = \left(\frac{n+1}{n}\right)^{2} e^{-1}.
Escrevendo \dfrac{n+1}{n}=1+\dfrac{1}{n}, temos
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2} e^{-1}.

Passo 4

Avaliar o limite da razão quando n\to\infty. Como \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{2}\to 1 quando n\to\infty, segue que
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=1\cdot e^{-1}=e^{-1}.
Note que e^{-1} é um número estritamente menor que 1 (pois e>1, logo e^{-1}\in(0,1)).

Passo 5

Transformar essa informação em uma prova de convergência. Escolha um número q tal que e^{-1}<q<1 (por exemplo q=\dfrac{e^{-1}+1}{2}). Como \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\to e^{-1}, existe N tal que para todo n\ge N vale \dfrac{a_{n+1}}{a_n}<q. Assim, para n\ge N tem a_{n+1}\le q\,a_n.
Aplicando essa desigualdade recursivamente, para qualquer k\ge 0 obtemos
a_{N+k}\le a_N\,q^{k}.
Como 0<q<1, temos q^{k}\to 0 quando k\to\infty. Portanto a_{N+k}\to 0 quando k\to\infty. Isso mostra que os termos da sequência tendem a 0 a partir de N, e portanto a sequência inteira \{a_n\} converge para 0.

Passo 6

Comentário final (intuitivo): o fator exponencial e^{-n} decai mais rápido que qualquer potência polinomial cresce, então produtos do tipo n^{p} e^{-n} vão para zero para qualquer potência fixa p. No nosso caso p=2, logo o limite é 0.

Resposta

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