Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
(isto é, o termo geral é
) e pede para determinar se ela converge ou diverge e, se convergir, encontrar o limite. Informações úteis fornecidas:
- O
é um inteiro que vai para o infinito ( ). - O termo geral é
.
Passo 2
Idéia do método (sem resolver ainda): mostrar que o fator exponencial
decai exponencialmente, e que essa decaída vence o crescimento polinomial
. Uma forma elementar e rigorosa de provar isso é estudar a razão entre termos consecutivos
. Se essa razão tende a um número menor que
, os termos acabam decaindo geometricamente a partir de algum índice, o que implica convergência para zero.
Passo 3
Calcular a razão entre termos consecutivos:
Escrevendo
, temos
Passo 4
Avaliar o limite da razão quando
. Como
quando
, segue que
Note que
é um número estritamente menor que
(pois
, logo
).
Passo 5
Transformar essa informação em uma prova de convergência. Escolha um número
tal que
(por exemplo
). Como
, existe
tal que para todo
vale
. Assim, para
tem
.
Aplicando essa desigualdade recursivamente, para qualquer
obtemos
Como
, temos
quando
. Portanto
quando
. Isso mostra que os termos da sequência tendem a
a partir de
, e portanto a sequência inteira
converge para
.
Passo 6
Comentário final (intuitivo): o fator exponencial
decai mais rápido que qualquer potência polinomial cresce, então produtos do tipo
vão para zero para qualquer potência fixa
. No nosso caso
, logo o limite é
.
Resposta
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