Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
a_{n}=\frac{\operatorname{sen} 2 n}{1+\sqrt{n}}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=\frac{\sin 2n}{1+\sqrt{n}}
e pede para determinar se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontrar o limite.
Informações relevantes fornecidas:
  • A sequência é dada explicitamente por a_{n}=\dfrac{\sin 2n}{1+\sqrt{n}}.
  • A função seno aparece no numerador, avaliada em 2n.
  • O denominador é 1+\sqrt{n}, que depende de n.

Passo 2

Observação básica sobre o seno (uma ferramenta que sempre ajuda): para qualquer número real x vale
-1 \le \sin x \le 1.
Isso é porque o seno oscila entre -1 e 1.
Aplicando isso ao nosso caso com x=2n, obtemos
-1 \le \sin 2n \le 1.

Passo 3

Como o denominador 1+\sqrt{n} é sempre positivo para todo n\ge1, podemos dividir a desigualdade anterior por 1+\sqrt{n} (mantendo as desigualdades na mesma direção). Assim:
\frac{-1}{1+\sqrt{n}} \le \frac{\sin 2n}{1+\sqrt{n}} \le \frac{1}{1+\sqrt{n}}.
Ou seja,
\frac{-1}{1+\sqrt{n}} \le a_n \le \frac{1}{1+\sqrt{n}}.

Passo 4

Agora vamos analisar o comportamento das sequências que aparecem nas duas extremidades (as cotas). Note que \sqrt{n}\to\infty quando n\to\infty. Portanto 1+\sqrt{n}\to\infty e, consequentemente, as sequências
\frac{1}{1+\sqrt{n}} \quad\text{e}\quad \frac{-1}{1+\sqrt{n}}
tendem a 0 quando n\to\infty. Em símbolos:
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\sqrt{n}}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to\infty}\frac{-1}{1+\sqrt{n}}=0.
Explicando de forma simples: a raiz quadrada cresce sem limite, então dividir 1 por algo que cresce sem limite dá zero.

Passo 5

Aplicando o Teorema do Sanduíche (ou Teorema das Duas Facas): se b_n \le a_n \le c_n para todo n suficientemente grande e \lim b_n = \lim c_n = L, então \lim a_n = L. Aqui temos b_n=\dfrac{-1}{1+\sqrt{n}}, c_n=\dfrac{1}{1+\sqrt{n}} e ambos têm limite 0. Portanto
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.

Passo 6

Conclusão final e intuição: a sequência converge porque o denominador cresce e “apaga” a oscilação do seno (que fica sempre entre -1 e 1). O limite é 0.

Resposta

Converge para 0.

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