Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para determinar se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontrar o limite.
Informações relevantes fornecidas:
- A sequência é dada explicitamente por
. - A função seno aparece no numerador, avaliada em
. - O denominador é
, que depende de .
Passo 2
Observação básica sobre o seno (uma ferramenta que sempre ajuda): para qualquer número real
vale
Isso é porque o seno oscila entre
e
.
Aplicando isso ao nosso caso com
, obtemos
Passo 3
Como o denominador
é sempre positivo para todo
, podemos dividir a desigualdade anterior por
(mantendo as desigualdades na mesma direção). Assim:
Ou seja,
Passo 4
Agora vamos analisar o comportamento das sequências que aparecem nas duas extremidades (as cotas). Note que
quando
. Portanto
e, consequentemente, as sequências
tendem a
quando
. Em símbolos:
Explicando de forma simples: a raiz quadrada cresce sem limite, então dividir 1 por algo que cresce sem limite dá zero.
Passo 5
Aplicando o Teorema do Sanduíche (ou Teorema das Duas Facas): se
para todo
suficientemente grande e
, então
. Aqui temos
,
e ambos têm limite
. Portanto
Passo 6
Conclusão final e intuição: a sequência converge porque o denominador cresce e “apaga” a oscilação do seno (que fica sempre entre
e
). O limite é
.
Resposta
Converge para
.