Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite: ((n+3)/(n-1))^(n+3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente descobrir se a sequência ((n+3)/(n-1))^(n+3) converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai calcular o limite. Vamos precisar usar conceitos de limites de sequências e a definição da função exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência para facilitar a análise do limite. Observe que:
Então, a sequência fica:

Passo 3

Agora, vamos reescrever o expoente de forma que possamos aplicar a definição do número de Euler, e. Note que:
Então, a sequência fica:
Sabemos que:
Aplicando isso aqui, com , temos:
E:
Multiplicando os limites:

Resposta

A sequência converge e o limite é .

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