ye^(-x) dy/dx + 2 = 0; y(0) = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: com a condição inicial . A matéria envolvida aqui é equações diferenciais ordinárias, especificamente as que são separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e e integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar :
Agora, dividimos ambos os lados por :

Passo 3

A próxima etapa é separar as variáveis e . Vamos multiplicar ambos os lados por e :
Agora temos as variáveis separadas, prontas para serem integradas.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação:
As integrais são:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor de :
Substituindo de volta na equação:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Finalmente, isolamos :

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

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