Determine se as sequências abaixo são limitadas e se são monótonas.
b_{n}=\frac{5^{n}}{6^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a sequência
b_{n}=\frac{5^{n}}{6^{n}}
no que diz respeito a ser limitada e monótona.
O conteúdo aqui é progressão geométrica e as definições de monotonicidade (cresce/decrece) e de sequência limitada (existe uma cotas superior e/ou inferior para todos os termos).

Passo 2

Observe que
b_{n}=\frac{5^{n}}{6^{n}}=\Bigl(\frac{5}{6}\Bigr)^{n}.
Isto mostra que (b_{n}) é uma progressão geométrica de razão
r=\frac{5}{6}.

Passo 3

Para verificar monotonicidade, compare b_{n+1} com b_{n}:
b_{n+1}=\Bigl(\frac{5}{6}\Bigr)^{n+1} =\Bigl(\frac{5}{6}\Bigr)^{n}\cdot\frac{5}{6} =b_{n}\cdot\frac{5}{6}.
Como \frac{5}{6}<1, segue que
b_{n+1}=b_{n}\,\frac{5}{6}<b_{n}.
Logo (b_{n}) é estritamente decrescente.

Passo 4

Para ver que (b_{n}) é limitada, note que todos os termos são positivos e, como 0<\tfrac{5}{6}<1, para todo n\ge1 vale
0<\Bigl(\frac{5}{6}\Bigr)^{n}\le\Bigl(\frac{5}{6}\Bigr)^{1}=\frac{5}{6}.
Assim, podemos escolher cota superior M=\tfrac{5}{6} e cota inferior m=0, garantindo que
0\le b_{n}\le \frac{5}{6} \quad\forall n.

Resposta

A sequência \displaystyle b_{n}=\frac{5^{n}}{6^{n}} é
Monótona: estritamente decrescente.
Limitada: tem cota inferior 0 e cota superior \tfrac{5}{6}.

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