Determine se as sequências abaixo são limitadas e se são monótonas.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a sequência
no que diz respeito a ser limitada e monótona.
O conteúdo aqui é progressão geométrica e as definições de monotonicidade (cresce/decrece) e de sequência limitada (existe uma cotas superior e/ou inferior para todos os termos).
O conteúdo aqui é progressão geométrica e as definições de monotonicidade (cresce/decrece) e de sequência limitada (existe uma cotas superior e/ou inferior para todos os termos).
Passo 2
Observe que
Isto mostra que
é uma progressão geométrica de razão
Passo 3
Para verificar monotonicidade, compare
com
:
Como
, segue que
Logo
é estritamente decrescente.
Passo 4
Para ver que
é limitada, note que todos os termos são positivos e, como
, para todo
vale
Assim, podemos escolher cota superior
e cota inferior
, garantindo que
Resposta
A sequência
é
– Monótona: estritamente decrescente.
– Limitada: tem cota inferior e cota superior
.
– Monótona: estritamente decrescente.
– Limitada: tem cota inferior