Determine se as sequências abaixo são limitadas e se são monótonas.
a_{n}=\frac{2 n+1}{3 n+4}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_{n} = \frac{2n+1}{3n+4},
para n inteiro positivo, e pede para verificar se ela é limitada e se é monótona. Para isso, vamos (1) calcular a diferença a_{n+1}-a_{n} e analisar seu sinal; (2) encontrar cotas inferior e superior para a_{n}.

Passo 2

Calculamos
a_{n+1}-a_{n} = \frac{2(n+1)+1}{3(n+1)+4} - \frac{2n+1}{3n+4} = \frac{2n+3}{3n+7} - \frac{2n+1}{3n+4}.
Combinando em um único quociente,
a_{n+1}-a_{n} = \frac{(2n+3)(3n+4) - (2n+1)(3n+7)}{(3n+7)(3n+4)} = \frac{6n^2 +17n +12 \;-\;(6n^2 +17n +7)}{(3n+7)(3n+4)} = \frac{5}{(3n+7)(3n+4)}.
Como (3n+7)(3n+4)>0 para todo n\ge1, conclui-se que
a_{n+1}-a_{n}>0,
ou seja, \{a_n\} é estritamente crescente.

Passo 3

Para mostrar que \{a_n\} é limitada, achamos cotas:
  • Cota inferior: para n\ge1, 2n+1>0 e 3n+4>0, logo a_n = \frac{2n+1}{3n+4}>0.
  • Cota superior: note que a_n < \frac{2n+1}{3n} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3n},mas mais direto é verificar a_n < \frac{2}{3} \iff 3(2n+1) < 2(3n+4) \iff 6n+3 < 6n+8,o que é verdade. Portanto 0 < a_n < \frac{2}{3}\quad\forall n\ge1.

Resposta

A sequência \{a_n\} é estritamente crescente e está limitada, com
0 < a_n < \frac{2}{3}.

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