Determine se as sequências abaixo são limitadas e se são monótonas.
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
para
inteiro positivo, e pede para verificar se ela é limitada e se é monótona. Para isso, vamos (1) calcular a diferença
e analisar seu sinal; (2) encontrar cotas inferior e superior para
.
Passo 2
Calculamos
Combinando em um único quociente,
Como
para todo
, conclui-se que
ou seja,
é estritamente crescente.
Passo 3
Para mostrar que
é limitada, achamos cotas:
- Cota inferior: para
, e , logo - Cota superior: note que
mas mais direto é verificar o que é verdade. Portanto
Resposta
A sequência
é estritamente crescente e está limitada, com