DETERMINE SE AS SEQUÊNCIAS CONVERGEM CALCULANDO SEU LIMITE
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a sequência
converge e, em caso afirmativo, calcular o seu limite quando
.
Informações dadas e observações iniciais:
- A sequência é dada por
para . - À medida que
cresce, o argumento do seno tende a . - A tarefa é decidir convergência (sim/não) e, se convergir, fornecer
.
Passo 2
Apresentar uma propriedade central que vamos usar: a seguinte igualdade-limite fundamental para o seno:
Explicação didática dessa propriedade (prova por desigualdades / Teorema do confronto):
- Para
real com vale a desigualdade geométrica clássica
Como
e o lado superior é
, pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem) obtemos
Breve justificativa das desigualdades: a desigualdade esquerda vem de manipular
(para
) escrevendo
e rearranjando; a desigualdade direita vem de
para
. Essas são desigualdades padrão obtidas por comparação geométrica no círculo unitário.
Passo 3
Mostrar que o argumento da sequência tende a zero:
- Defina
. Então e
Justificativa curta: dado
, escolher
implica que, para todo
,
. Portanto
.
Passo 4
Relacionar a sequência com a propriedade do Passo 2:
- Observe que
- Como
e sabemos que , podemos aplicar o resultado de Passo 2 à sequência : a sequência tende a . - Logo,
Passo 5
Uma verificação alternativa (intuição via série de Taylor / aproximação de pequeno ângulo):
- Para
pequeno é comum usar a expansão
- Tomando
obtemos
o que também mostra que
quando
. Isso serve só como confirmação e dá uma ideia de quão rápido converge (diferença da ordem
).
Passo 6
Pequena checagem numérica para ganhar confiança:
- Por exemplo, para
:
próximo de
. Para
a aproximação fica ainda melhor.