DETERMINE SE AS SEQUÊNCIAS CONVERGEM CALCULANDO SEU LIMITE
a_{n}=n \cdot \sin \left(\frac{1}{n}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência a_{n}=n\cdot\sin\!\left(\frac{1}{n}\right) converge e, em caso afirmativo, calcular o seu limite quando n\to\infty.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A sequência é dada por a_{n}=n\cdot\sin\!\left(\dfrac{1}{n}\right) para n\in\mathbb{N}.
  • À medida que n cresce, o argumento do seno \dfrac{1}{n} tende a 0.
  • A tarefa é decidir convergência (sim/não) e, se convergir, fornecer \lim_{n\to\infty} a_{n}.

Passo 2

Apresentar uma propriedade central que vamos usar: a seguinte igualdade-limite fundamental para o seno:
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
Explicação didática dessa propriedade (prova por desigualdades / Teorema do confronto):
  • Para x real com 0<x<\dfrac{\pi}{2} vale a desigualdade geométrica clássica
\cos x \le \frac{\sin x}{x} \le 1.
Como \lim_{x\to 0}\cos x =1 e o lado superior é 1, pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem) obtemos
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
Breve justificativa das desigualdades: a desigualdade esquerda vem de manipular x<\tan x (para 0<x<\pi/2) escrevendo \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e rearranjando; a desigualdade direita vem de \sin x < x para x>0. Essas são desigualdades padrão obtidas por comparação geométrica no círculo unitário.

Passo 3

Mostrar que o argumento da sequência tende a zero:
  • Defina x_n=\dfrac{1}{n}. Então x_n>0 e
\lim_{n\to\infty} x_n = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.
Justificativa curta: dado \varepsilon>0, escolher N>\dfrac{1}{\varepsilon} implica que, para todo n\ge N, \dfrac{1}{n}\le \dfrac{1}{N}<\varepsilon. Portanto 1/n\to 0.

Passo 4

Relacionar a sequência com a propriedade do Passo 2:
  • Observe que
a_n = n\cdot\sin\!\left(\frac{1}{n}\right) = \frac{\sin\!\left(\frac{1}{n}\right)}{\tfrac{1}{n}}.
  • Como x_n=\dfrac{1}{n}\to 0 e sabemos que \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1, podemos aplicar o resultado de Passo 2 à sequência x_n: a sequência \dfrac{\sin(x_n)}{x_n} tende a 1.
  • Logo,
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{\sin\!\left(\frac{1}{n}\right)}{\tfrac{1}{n}} = 1.

Passo 5

Uma verificação alternativa (intuição via série de Taylor / aproximação de pequeno ângulo):
  • Para y pequeno é comum usar a expansão
\sin y = y - \frac{y^{3}}{6} + o(y^{3}).
  • Tomando y=\dfrac{1}{n} obtemos
n\sin\!\left(\frac{1}{n}\right) = n\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{6n^{3}} + o\!\left(\frac{1}{n^{3}}\right)\right) = 1 - \frac{1}{6n^{2}} + o\!\left(\frac{1}{n^{2}}\right),
o que também mostra que a_n\to 1 quando n\to\infty. Isso serve só como confirmação e dá uma ideia de quão rápido converge (diferença da ordem 1/n^{2}).

Passo 6

Pequena checagem numérica para ganhar confiança:
  • Por exemplo, para n=10:
a_{10}=10\sin\!\left(\frac{1}{10}\right)\approx 10\cdot 0,09983\approx 0,9983,
próximo de 1. Para n=100 a aproximação fica ainda melhor.

Resposta

1

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