3.55 Ao mesmo tempo em que a rotação da extremidade inferior de cada eixo é impedida, aplica-se um torque de 50 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m} à extremidade A do eixo A B. Sabendo que G=77,2 \mathrm{GPa} para ambos os eixos, determine (a) a tensão de cisalhamento máxima no eixo C D e ( b ) o ângulo de rotação em A.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (copiadas do próprio texto):
  • Um torque aplicado na extremidade A do eixo AB: T=50\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • A rotação da extremidade inferior de cada eixo é impedida (ou seja, as extremidades inferiores estão fixas).
  • O módulo de cisalhamento para ambos os eixos é G=77{,}2\\ \mathrm{GPa}.
O enunciado pede:
  • (a) a tensão de cisalhamento máxima no eixo CD;
  • (b) o ângulo de rotação em A.
Informações que NÃO foram fornecidas no enunciado enviado e que são essenciais para resolver numericamente:
  • Geometria das seções transversais dos eixos (diâmetros externos e, se for o caso, internos — isto é, se são maciços ou ocos).
  • Comprimentos de cada segmento de eixo (comprimento de AB, comprimento de CD, etc.).
  • Como os eixos estão conectados entre si (por exemplo: estão em paralelo ligados por um disco rígido, em série, ligados por um eixo comum, etc.). Em outras palavras: a figura do problema é necessária para saber o arranjo estático (distribuição de torques).
  • Qualquer outro carregamento ou restrição além do torque de 50\\ \mathrm{N\cdot m} e as fixações mencionadas.
Sem esses dados geométricos e sem o diagrama de montagem, não é possível calcular valores numéricos para a tensão máxima em CD nem para o ângulo em A. A seguir explico detalhadamente a teoria e o procedimento que deve ser aplicado assim que esses dados (ou a figura) estiverem disponíveis — isto serve como “receita de prova” para você aplicar em qualquer enunciado semelhante.

Passo 2

Conceitos e fórmulas fundamentais de torção que vamos usar (aulas rápidas e claras):
  1. Tensão de cisalhamento máxima em um eixo circular submetido a torque:
  • Para um eixo circular maciço de diâmetro d, a tensão de cisalhamento máxima (na superfície) é
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J}=\frac{T\,(d/2)}{J},
onde J é o momento polar de inércia da seção e c é a distância do centro à superfície ( c=d/2).
  • Para um eixo circular maciço:
J=\frac{\pi d^{4}}{32}.
  • Para um eixo circular oco com diâmetro externo d_o e interno d_i:
J=\frac{\pi}{32}\left(d_o^{4}-d_i^{4}\right).
Explicando as variáveis:
  • T é o torque (torsor) interno no trecho considerado (em N·m).
  • d é o diâmetro da barra no trecho onde se quer a tensão (em m).
  • J mede a “resistência à torção” da seção; quanto maior J, menor a tensão para um mesmo T.
  • \tau_{\max} é a tensão de cisalhamento máxima que aparece na superfície.
  1. Lei da deformação por torção (ângulo de torção em um trecho uniforme):
  • Para um trecho cilíndrico uniforme de comprimento L, o ângulo de torção relativo entre as extremidades é
\varphi=\frac{T\,L}{G\,J}.
Explicando:
  • \varphi é o ângulo de torção (radianos).
  • G é o módulo de cisalhamento (Pa).
  • L é o comprimento do trecho (m).
  • J como acima.
  1. Para vários trechos em série (por exemplo, um eixo com dois segmentos de diferentes J e L encostados um ao outro), a torção total é a soma das torções de cada trecho:
\varphi_{\text{tot}}=\sum_{i}\varphi_i=\sum_{i}\frac{T_i L_i}{G J_i},
sendo T_i o torque no segmento i. Em muitos problemas simples onde um torque T é aplicado em uma extremidade e a outra extremidade é fixa, o torque interno é igual a T em todos os segmentos em série (se não houver outras cargas/apoios intermediários).
  1. Para um ponto onde dois trechos carregam torque em “paralelo” (por exemplo, um disco rígido que liga dois eixos cujas extremidades inferiores estão fixas separadamente), a distribuição dos torques entre os dois ramos é obtida por compatibilidade de rotação + equilíbrio:
  • Seja k_i=\dfrac{G J_i}{L_i} a rigidez torsional do ramo i (unidade N·m/rad).
  • Para um torque total T aplicado no disco que se bifurca em dois ramos fixos abaixo, tem-se:
T_1+T_2=T,
e pela compatibilidade de rotação (as rotações do disco causadas por cada ramo devem ser iguais),
\frac{T_1 L_1}{G J_1}=\frac{T_2 L_2}{G J_2}.
Isto pode ser reescrito com as rigidezes:
\varphi=\frac{T_1}{k_1}=\frac{T_2}{k_2},\qquad \text{com}\quad k_i=\frac{GJ_i}{L_i}.
Logo
\varphi=\frac{T}{k_1+k_2},\qquad T_i=\frac{k_i}{k_1+k_2}\,T.
Isto generaliza para n ramos: cada ramo recebe uma fração do torque proporcional à sua rigidez torsional k_i.
Esses são os blocos de construção: saber calcular J do perfil, calcular k, repartir o torque por equilíbrio e compatibilidade, calcular \tau_{\max} em cada ramo e somar/relacionar as rotações quando necessário.

Passo 3

Procedimento passo a passo (o que fazer na prova, sem equipamento de cálculo simbólico):
  1. Interpretar a figura e identificar a topologia:
    • São eixos em série (um ligado ao outro) ou há uma junção (disco rígido) que divide o torque entre dois ramos que têm suas extremidades inferiores fixas? Identificar claramente onde o torque 50\\ \mathrm{N\cdot m} é aplicado e quais extremidades estão fixas.
  2. Para cada trecho de eixo (cada segmento com comprimento L_i e diâmetro d_i ou com d_{oi},d_{ii} se oco):
    • Calcular J_i usando as fórmulas dadas.
    • Calcular a rigidez torsional k_i=\dfrac{G J_i}{L_i}.
  3. Montar as equações de equilíbrio estático e compatibilidade:
    • Se for uma única sequência em série e a outra extremidade estiver fixa, o torque interno em todos os segmentos é T (ou o valor resultante dos torques aplicados).
    • Se existir uma bifurcação (dois ramos fixos), aplicar: T_1+T_2=T,\qquad \varphi=\frac{T_1}{k_1}=\frac{T_2}{k_2},e resolver para T_1,T_2 com T_i=\frac{k_i}{\sum k_j}\,T.
  4. Determinar a tensão de cisalhamento máxima no eixo CD:
    • Encontrar o torque interno em CD, digamos T_{CD}.
    • Calcular J_{CD} e c_{CD}.
    • Calcular \tau_{\max,CD}=\frac{T_{CD}\,c_{CD}}{J_{CD}}.
    • Esta é a resposta para (a).
  5. Determinar o ângulo de rotação em A:
    • Somar as contribuições de torção desde A até a referência fixa (por exemplo, até as extremidades inferiores fixas). Se houver ramos, o ângulo do ponto onde o torque é aplicado é a mesma que a do disco que conecta os ramos e pode ser obtida por \varphi=\frac{T}{\sum k_j}quando há ramos em paralelo com rigidezes k_j. Se os trechos são em série, somar \varphi_i=\dfrac{T_i L_i}{G J_i}.
    • Converter \varphi para graus se solicitado: 1\\ \text{rad}=180^\circ/\pi.

Passo 4

Resolução simbólica para um caso comum (bifurcação em dois ramos), para que você veja a fórmula final pronta a usar na prova.
Suponha que o torque T aplicado no ponto superior é repartido em dois ramos que vão para baixo, cada um com comprimento L_i e momento polar J_i. Então:
  • Rigidezes:
k_i=\frac{G J_i}{L_i}.
  • Ângulo comum no ponto de união:
\varphi=\frac{T}{k_1+k_2}=\frac{T}{\dfrac{GJ_1}{L_1}+\dfrac{GJ_2}{L_2}}.
Simplificando:
\varphi=\frac{T}{G\left(\dfrac{J_1}{L_1}+\dfrac{J_2}{L_2}\right)}.
  • Torque no ramo CD (supondo que o índice 2 se refira a CD):
T_{CD}=T_2=\frac{k_2}{k_1+k_2}\,T=\frac{\dfrac{J_2}{L_2}}{\dfrac{J_1}{L_1}+\dfrac{J_2}{L_2}}\,T.
  • Tensão máxima em CD:
\tau_{\max,CD}=\frac{T_{CD}\,c_{CD}}{J_{CD}}=\frac{T_{CD}\,(d_{CD}/2)}{J_{CD}}.
Observação: se o eixo CD for maciço, J_{CD}=\dfrac{\pi d_{CD}^4}{32} e isso simplifica a expressão numérica.

Passo 5

Exemplo numérico ilustrativo (apenas para ver como aplicar; estes valores são inventados só para demonstração — NÃO são os dados do seu enunciado porque a figura/dimensões não foram fornecidas):
Suponha que CD seja um eixo maciço com d_{CD}=20\\ \mathrm{mm}=0{,}020\\ \mathrm{m} e comprimento L_{CD}=0{,}4\\ \mathrm{m}. Suponha que o outro ramo tenha d_{AB}=15\\ \mathrm{mm} e L_{AB}=0{,}6\\ \mathrm{m}. Tome G=77{,}2\times10^{9}\\ \mathrm{Pa} e T=50\\ \mathrm{N\cdot m}.
Passos rápidos (apenas demonstrativo):
  • Calcular J_{CD}=\dfrac{\pi d^4}{32}=\dfrac{\pi (0{,}020)^4}{32}.
  • Calcular k_{CD}=\dfrac{G J_{CD}}{L_{CD}}.
  • Fazer o mesmo para o outro ramo e usar as fórmulas do Passo 4 para achar T_{CD} e depois \tau_{\max,CD} e \varphi.
Este exemplo mostra que com os números em mãos as fórmulas do Passo 4 permitem obter respostas numéricas rapidamente — o cálculo é direto e mecânico.

Passo 6

Resumo do que falta e do que eu preciso para finalizar numericamente:
  • Envie a figura do problema OU forneça explicitamente:
    • Diâmetros de cada eixo (ou diâmetro externo e interno se são ocos).
    • Comprimentos de cada segmento relevante.
    • Desenho/descrição de como os eixos estão conectados (em série, em paralelo com disco rígido, etc.) e quais extremidades estão fixas.
      Com isso eu aplico imediatamente os passos anteriores e calculo (a) \tau_{\max} em CD e (b) \varphi em A, mostrando todas as contas passo a passo.

Resposta

Não é possível determinar numericamente a tensão máxima em CD nem o ângulo em A porque faltam a figura do problema e os dados geométricos essenciais (diâmetros, comprimentos e arranjo dos eixos).

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