3.55 Ao mesmo tempo em que a rotação da extremidade inferior de cada eixo é impedida, aplica-se um torque de
à extremidade
do eixo
. Sabendo que
para ambos os eixos, determine (a) a tensão de cisalhamento máxima no eixo
e (
) o ângulo de rotação em
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (copiadas do próprio texto):
- Um torque aplicado na extremidade
do eixo : . - A rotação da extremidade inferior de cada eixo é impedida (ou seja, as extremidades inferiores estão fixas).
- O módulo de cisalhamento para ambos os eixos é
.
O enunciado pede:
- (a) a tensão de cisalhamento máxima no eixo
; - (b) o ângulo de rotação em
.
Informações que NÃO foram fornecidas no enunciado enviado e que são essenciais para resolver numericamente:
- Geometria das seções transversais dos eixos (diâmetros externos e, se for o caso, internos — isto é, se são maciços ou ocos).
- Comprimentos de cada segmento de eixo (comprimento de
, comprimento de , etc.). - Como os eixos estão conectados entre si (por exemplo: estão em paralelo ligados por um disco rígido, em série, ligados por um eixo comum, etc.). Em outras palavras: a figura do problema é necessária para saber o arranjo estático (distribuição de torques).
- Qualquer outro carregamento ou restrição além do torque de
e as fixações mencionadas.
Sem esses dados geométricos e sem o diagrama de montagem, não é possível calcular valores numéricos para a tensão máxima em
nem para o ângulo em
. A seguir explico detalhadamente a teoria e o procedimento que deve ser aplicado assim que esses dados (ou a figura) estiverem disponíveis — isto serve como “receita de prova” para você aplicar em qualquer enunciado semelhante.
Passo 2
Conceitos e fórmulas fundamentais de torção que vamos usar (aulas rápidas e claras):
- Tensão de cisalhamento máxima em um eixo circular submetido a torque:
- Para um eixo circular maciço de diâmetro
, a tensão de cisalhamento máxima (na superfície) é
onde
é o momento polar de inércia da seção e
é a distância do centro à superfície (
).
- Para um eixo circular maciço:
- Para um eixo circular oco com diâmetro externo
e interno :
Explicando as variáveis:
-
é o torque (torsor) interno no trecho considerado (em N·m). -
é o diâmetro da barra no trecho onde se quer a tensão (em m). -
mede a “resistência à torção” da seção; quanto maior , menor a tensão para um mesmo . -
é a tensão de cisalhamento máxima que aparece na superfície.
- Lei da deformação por torção (ângulo de torção em um trecho uniforme):
- Para um trecho cilíndrico uniforme de comprimento
, o ângulo de torção relativo entre as extremidades é
Explicando:
-
é o ângulo de torção (radianos). -
é o módulo de cisalhamento (Pa). -
é o comprimento do trecho (m). -
como acima.
- Para vários trechos em série (por exemplo, um eixo com dois segmentos de diferentes
e encostados um ao outro), a torção total é a soma das torções de cada trecho:
sendo
o torque no segmento
. Em muitos problemas simples onde um torque
é aplicado em uma extremidade e a outra extremidade é fixa, o torque interno é igual a
em todos os segmentos em série (se não houver outras cargas/apoios intermediários).
- Para um ponto onde dois trechos carregam torque em “paralelo” (por exemplo, um disco rígido que liga dois eixos cujas extremidades inferiores estão fixas separadamente), a distribuição dos torques entre os dois ramos é obtida por compatibilidade de rotação + equilíbrio:
- Seja
a rigidez torsional do ramo (unidade N·m/rad). - Para um torque total
aplicado no disco que se bifurca em dois ramos fixos abaixo, tem-se:
e pela compatibilidade de rotação (as rotações do disco causadas por cada ramo devem ser iguais),
Isto pode ser reescrito com as rigidezes:
Logo
Isto generaliza para
ramos: cada ramo recebe uma fração do torque proporcional à sua rigidez torsional
.
Esses são os blocos de construção: saber calcular
do perfil, calcular
, repartir o torque por equilíbrio e compatibilidade, calcular
em cada ramo e somar/relacionar as rotações quando necessário.
Passo 3
Procedimento passo a passo (o que fazer na prova, sem equipamento de cálculo simbólico):
-
Interpretar a figura e identificar a topologia:
- São eixos em série (um ligado ao outro) ou há uma junção (disco rígido) que divide o torque entre dois ramos que têm suas extremidades inferiores fixas? Identificar claramente onde o torque
é aplicado e quais extremidades estão fixas.
- São eixos em série (um ligado ao outro) ou há uma junção (disco rígido) que divide o torque entre dois ramos que têm suas extremidades inferiores fixas? Identificar claramente onde o torque
-
Para cada trecho de eixo (cada segmento com comprimento
e diâmetro ou com se oco): - Calcular
usando as fórmulas dadas. - Calcular a rigidez torsional
.
- Calcular
-
Montar as equações de equilíbrio estático e compatibilidade:
- Se for uma única sequência em série e a outra extremidade estiver fixa, o torque interno em todos os segmentos é
(ou o valor resultante dos torques aplicados). - Se existir uma bifurcação (dois ramos fixos), aplicar:
e resolver para com
- Se for uma única sequência em série e a outra extremidade estiver fixa, o torque interno em todos os segmentos é
-
Determinar a tensão de cisalhamento máxima no eixo
: - Encontrar o torque interno em
, digamos . - Calcular
e . - Calcular
- Esta é a resposta para (a).
- Encontrar o torque interno em
-
Determinar o ângulo de rotação em
: - Somar as contribuições de torção desde
até a referência fixa (por exemplo, até as extremidades inferiores fixas). Se houver ramos, o ângulo do ponto onde o torque é aplicado é a mesma que a do disco que conecta os ramos e pode ser obtida por quando há ramos em paralelo com rigidezes . Se os trechos são em série, somar . - Converter
para graus se solicitado: .
- Somar as contribuições de torção desde
Passo 4
Resolução simbólica para um caso comum (bifurcação em dois ramos), para que você veja a fórmula final pronta a usar na prova.
Suponha que o torque
aplicado no ponto superior é repartido em dois ramos que vão para baixo, cada um com comprimento
e momento polar
. Então:
- Rigidezes:
- Ângulo comum no ponto de união:
Simplificando:
- Torque no ramo
(supondo que o índice 2 se refira a ):
- Tensão máxima em
:
Observação: se o eixo
for maciço,
e isso simplifica a expressão numérica.
Passo 5
Exemplo numérico ilustrativo (apenas para ver como aplicar; estes valores são inventados só para demonstração — NÃO são os dados do seu enunciado porque a figura/dimensões não foram fornecidas):
Suponha que
seja um eixo maciço com
e comprimento
. Suponha que o outro ramo tenha
e
. Tome
e
.
Passos rápidos (apenas demonstrativo):
- Calcular
. - Calcular
. - Fazer o mesmo para o outro ramo e usar as fórmulas do Passo 4 para achar
e depois e .
Este exemplo mostra que com os números em mãos as fórmulas do Passo 4 permitem obter respostas numéricas rapidamente — o cálculo é direto e mecânico.
Passo 6
Resumo do que falta e do que eu preciso para finalizar numericamente:
- Envie a figura do problema OU forneça explicitamente:
- Diâmetros de cada eixo (ou diâmetro externo e interno se são ocos).
- Comprimentos de cada segmento relevante.
- Desenho/descrição de como os eixos estão conectados (em série, em paralelo com disco rígido, etc.) e quais extremidades estão fixas.
Com isso eu aplico imediatamente os passos anteriores e calculo (a)em e (b) em , mostrando todas as contas passo a passo.
Resposta
Não é possível determinar numericamente a tensão máxima em
nem o ângulo em
porque faltam a figura do problema e os dados geométricos essenciais (diâmetros, comprimentos e arranjo dos eixos).