Determine se as sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
a_{n}=\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}

Passo 1

O enunciado dá a sequência \displaystyle a_{n}=\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}} e pede para determinar se ela converge ou diverge e, se convergir, calcular o limite \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n. As informações relevantes são apenas a expressão da sequência para n inteiro positivo (presume-se n\ge1).

Passo 2

Observação inicial sobre sinais e limites possíveis: para todo n\ge1 temos \sqrt{n^{2}+1}>0 e n>0, então a_n>0. Além disso \sqrt{n^{2}+1}>\sqrt{n^{2}}=n, logo
0< a_n=\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}<1.
Assim a sequência é positivamente limitada e fica sempre entre 0 e 1. Isso já indica que o limite, se existir, deve estar em [0,1].

Passo 3

Técnica padrão para este tipo de sequência: dividir numerador e denominador por n (válido porque n>0). Reescrevendo,
a_n=\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}=\frac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{n^{2}}}}.
Expliquei cada passo: dentro da raiz n^{2}+1=n^{2}\!\left(1+\dfrac{1}{n^{2}}\right), então \sqrt{n^{2}+1}=n\sqrt{1+\dfrac{1}{n^{2}}}; ao dividir n por isso sobra a expressão acima.

Passo 4

Agora use limites básicos e a continuidade das funções usuais. Sabemos que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0\quad\Rightarrow\quad\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{2}}=0.
A função x\mapsto\sqrt{1+x} é contínua em um entorno de x=0, e a função y\mapsto 1/y é contínua em y=1. Portanto, aplicando as regras de limite e composição com funções contínuas,
\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{n^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{1+0}}=1.

Passo 5

Intuição rápida (para fixar): tanto o numerador quanto o denominador crescem como n quando n é grande, então a razão tende a 1. Uma generalização útil: para qualquer constante c, \displaystyle\frac{n}{\sqrt{n^{2}+c}}\to1 quando n\to\infty.

Resposta

Converge, \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=1.

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