Determine se as sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para determinar se ela converge ou diverge e, se convergir, calcular o limite
. As informações relevantes são apenas a expressão da sequência para
inteiro positivo (presume-se
).
Passo 2
Observação inicial sobre sinais e limites possíveis: para todo
temos
e
, então
. Além disso
, logo
Assim a sequência é positivamente limitada e fica sempre entre
e
. Isso já indica que o limite, se existir, deve estar em
.
Passo 3
Técnica padrão para este tipo de sequência: dividir numerador e denominador por
(válido porque
). Reescrevendo,
Expliquei cada passo: dentro da raiz
, então
; ao dividir
por isso sobra a expressão acima.
Passo 4
Agora use limites básicos e a continuidade das funções usuais. Sabemos que
A função
é contínua em um entorno de
, e a função
é contínua em
. Portanto, aplicando as regras de limite e composição com funções contínuas,
Passo 5
Intuição rápida (para fixar): tanto o numerador quanto o denominador crescem como
quando
é grande, então a razão tende a
. Uma generalização útil: para qualquer constante
,
quando
.
Resposta
Converge,
.