Use o Teorema 10.5 para provar que as seqüências dadas convergem. Calcule os limites de cada uma delas.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para provar, usando o Teorema 10.5, que essa sequência converge e calcular seu limite.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A sequência é dada explicitamente por uma combinação de uma constante
e da potência . - O objetivo é mostrar convergência e encontrar
.
Passo 2
Enunciando (uma forma útil do) Teorema 10.5 — regras sobre limites de sequências (versão que vamos usar):
Se e
são sequências com
e
, e
é uma constante, então valem:
Se
Explicando cada peça: as hipóteses dizem que cada sequência tem limite; as conclusões afirmam que somas, diferenças e multiplicação por constante preservam a convergência e o limite é a operação correspondente entre os limites. Vamos usar exatamente essas propriedades para combinar limites conhecidos e obter o limite de
.
Passo 3
Mostrar que
converge e achar seu limite. Considere a sequência
Observações básicas:
- Para todo
tem . - A sequência é estritamente decrescente, pois
- Sendo decrescente e limitada inferiormente por
, a sequência é convergente (teorema das sequências monótonas). Logo existe . Passando ao limite na igualdade e usando as regras de limites (as quais incluem multiplicação por constante), obtemos
Isto implica
, ou seja
. Portanto
. Conclusão:
Passo 4
Aplicar o Teorema 10.5 para obter o limite de
. Escrevemos
de forma a usar soma/diferença e multiplicação por constante:
Agora identificamos duas sequências:
- A sequência constante
tem limite . - Já provamos que
.
Usando o Teorema 10.5 (primeiro para multiplicação por constante e depois para diferença), temos:
Portanto,