Use o Teorema 10.5 para provar que as seqüências dadas convergem. Calcule os limites de cada uma delas.
a_{n}=\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3^{n}}\right)

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=\frac{1}{3}\Bigl(1-\frac{1}{3^{n}}\Bigr)
e pede para provar, usando o Teorema 10.5, que essa sequência converge e calcular seu limite.
Informações relevantes que temos:
  • A sequência é dada explicitamente por uma combinação de uma constante 1 e da potência \dfrac{1}{3^{n}}.
  • O objetivo é mostrar convergência e encontrar \lim_{n\to\infty}a_n.

Passo 2

Enunciando (uma forma útil do) Teorema 10.5 — regras sobre limites de sequências (versão que vamos usar):
Se \{x_n\} e \{y_n\} são sequências com \lim_{n\to\infty}x_n = x e \lim_{n\to\infty}y_n = y, e c é uma constante, então valem:
\lim_{n\to\infty}(x_n+y_n)=x+y, \qquad \lim_{n\to\infty}(x_n-y_n)=x-y, \qquad \lim_{n\to\infty}(c\,x_n)=c\,x.
Explicando cada peça: as hipóteses dizem que cada sequência tem limite; as conclusões afirmam que somas, diferenças e multiplicação por constante preservam a convergência e o limite é a operação correspondente entre os limites. Vamos usar exatamente essas propriedades para combinar limites conhecidos e obter o limite de a_n.

Passo 3

Mostrar que \dfrac{1}{3^{n}} converge e achar seu limite. Considere a sequência
b_n=\frac{1}{3^{n}}.
Observações básicas:
  • Para todo n tem b_n>0.
  • A sequência é estritamente decrescente, pois
b_{n+1}=\frac{1}{3^{n+1}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3^{n}}=\frac{1}{3}b_n \quad\text{e}\quad \frac{1}{3}b_n<b_n.
  • Sendo decrescente e limitada inferiormente por 0, a sequência \{b_n\} é convergente (teorema das sequências monótonas). Logo existe L=\lim_{n\to\infty}b_n. Passando ao limite na igualdade b_{n+1}=\dfrac{1}{3}b_n e usando as regras de limites (as quais incluem multiplicação por constante), obtemos
L=\frac{1}{3}L.
Isto implica (1-\tfrac{1}{3})L=0, ou seja \tfrac{2}{3}L=0. Portanto L=0. Conclusão:
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{3^{n}}=0.

Passo 4

Aplicar o Teorema 10.5 para obter o limite de a_n. Escrevemos a_n de forma a usar soma/diferença e multiplicação por constante:
a_{n}=\frac{1}{3}\Bigl(1-\frac{1}{3^{n}}\Bigr)=\frac{1}{3}\cdot 1 - \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3^{n}}.
Agora identificamos duas sequências:
  • A sequência constante 1 tem limite \lim_{n\to\infty}1=1.
  • Já provamos que \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{3^{n}}=0.
Usando o Teorema 10.5 (primeiro para multiplicação por constante e depois para diferença), temos:
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{3}\cdot 1=\frac{1}{3}\cdot 1=\frac{1}{3}, \qquad \lim_{n\to\infty}\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3^{n}}=\frac{1}{3}\cdot 0=0.
Portanto,
\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}.

Resposta

\dfrac{1}{3}

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