Determine se as sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência. a_{n}=\frac{n+1}{n}
Passo 1
O enunciado dá a sequência \displaystyle a_{n}=\frac{n+1}{n} para n\in\mathbb{N} (presumindo n\ge 1) e pede para determinar se a sequência converge ou diverge e, caso converja, calcular o limite. Informações relevantes fornecidas:
A expressão geral é \displaystyle a_{n}=\frac{n+1}{n}.
A variável n tende a infinito (investigar comportamento quando n\to\infty).
O que se pede:
Dizer se a sequência converge ou diverge.
Se convergir, encontrar o valor \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n.
Passo 2
Vamos simplificar \displaystyle a_{n} algebricamente para ver sua forma mais clara. Dividindo cada termo por n obtemos
Essa escrita deixa evidente que a_n é a soma de 1 (constante) com \dfrac{1}{n} (termo que varia com n).
Passo 3
Explicando a ideia de limite que vamos usar (sem jargão complicado): se conseguimos mostrar que o termo \dfrac{1}{n} fica cada vez menor e tende a 0 quando n cresce, então a soma 1+\dfrac{1}{n} tende a 1+0=1. Isso usa a propriedade básica de limites de sequências: se b_n\to L e c_n\to M, então b_n+c_n\to L+M. Aqui b_n\equiv 1 e c_n=\dfrac{1}{n}.
Passo 4
Agora mostro rigorosamente (no nível de prova de prova) que \dfrac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty. Seja um número \varepsilon>0 dado. Queremos encontrar N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
\left|\frac{1}{n}-0\right|<\varepsilon.
Note que \left|\dfrac{1}{n}\right|=\dfrac{1}{n}. Se escolhermos qualquer N com
N>\frac{1}{\varepsilon},
então para todo n\ge N temos n\ge N>1/\varepsilon, logo \dfrac{1}{n}<\varepsilon. Assim existe tal N e isso prova que \dfrac{1}{n}\to 0.
Passo 5
Usando o resultado do passo anterior e a propriedade de limites (soma de limites), concluímos que
Um pouco de intuição extra (útil na prova e na prova oral da prova): a sequência é estritamente decrescente e limitada inferiormente por 1. De fato, comparando termos consecutivos:
a_{n+1}=1+\frac{1}{n+1}<1+\frac{1}{n}=a_n,
portanto é decrescente. Para todo n\ge 1 tem-se a_n=1+\dfrac{1}{n}\ge 1, logo é limitada inferiormente por 1. Uma sequência decrescente e limitada inferiormente tem limite (que aqui é 1), o que dá outra maneira de ver a convergência sem usar cálculo de limites term-a-term.
Passo 7
Conclusão final: a sequência converge e o seu limite é 1. Força aí — é um exemplo clássico e simples: termos vão para 1 porque o acréscimo \tfrac{1}{n} desaparece quando n cresce.