Encontre uma expressão para o
-ésimo termo das sequências dadas.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede: encontrar uma expressão para o termo
-ésimo dessa sequência.
Informações úteis fornecidas:
- Os termos, em ordem, são os mostrados acima (peguei todos esses termos do enunciado).
- Os numeradores são potências de
: . - Os denominadores são os números
. - O objetivo é dar uma fórmula que produza cada termo da sequência quando se substitui o índice
.
Passo 2
Vamos identificar o padrão dos denominadores. Os números
são muito familiares: são os fatoriais dos inteiros. Vou explicar o que é fatorial com calma.
Definição de fatorial:
- Para um inteiro não negativo
, define-se o fatorial por
e, para
,
Exemplos:
,
,
,
,
. Repare que esses valores coincidem com os denominadores que foram dados.
Passo 3
Agora conectamos os dois padrões (potências de
e fatoriais). Observando os termos dados:
- O primeiro tem numerador
e denominador . - O segundo tem numerador
e denominador . - O terceiro tem numerador
e denominador . - E assim por diante.
Portanto faz sentido propor que o termo cujo expoente de
é
tem denominador
. Isso sugere a fórmula
onde
começa em
(isto é,
). Vou explicar por que essa escolha reproduz a sequência dada.
Passo 4
Verificação direta (para ficar tranquilo na prova): calculemos alguns termos com a fórmula proposta.
- Para
:
que é o primeiro termo dado.
- Para
:
que é o segundo termo dado.
- Para
:
que é o terceiro termo dado.
- Para
:
que coincide com o termo mostrado.
Como todos os casos testados batem com a sequência, a fórmula é consistente.
Passo 5
Observação sobre indexação (muito comum em exercícios): algumas vezes o enunciado pede o “
-ésimo termo” assumindo que
começa em
. Se você prefere essa convenção (índice começando em
), basta deslocar o índice: para
tem-se
Ambas as formas são equivalentes, apenas mudam o ponto onde o índice inicia.