Encontre uma expressão para o n-ésimo termo das sequências dadas.
1, x, \frac{x^{2}}{2}, \frac{x^{3}}{6}, \frac{x^{4}}{24}, \frac{x^{5}}{120}, \ldots

Passo 1

O enunciado dá a sequência
1,\; x,\; \frac{x^{2}}{2},\; \frac{x^{3}}{6},\; \frac{x^{4}}{24},\; \frac{x^{5}}{120},\;\ldots
e pede: encontrar uma expressão para o termo n-ésimo dessa sequência.
Informações úteis fornecidas:
  • Os termos, em ordem, são os mostrados acima (peguei todos esses termos do enunciado).
  • Os numeradores são potências de x: x^{0},x^{1},x^{2},x^{3},x^{4},x^{5},\ldots.
  • Os denominadores são os números 1,1,2,6,24,120,\ldots.
  • O objetivo é dar uma fórmula que produza cada termo da sequência quando se substitui o índice n.

Passo 2

Vamos identificar o padrão dos denominadores. Os números
1,\;1,\;2,\;6,\;24,\;120,\ldots
são muito familiares: são os fatoriais dos inteiros. Vou explicar o que é fatorial com calma.
Definição de fatorial:
  • Para um inteiro não negativo m, define-se o fatorial m! por
0! = 1
e, para m\ge 1,
m! = 1\cdot 2\cdot 3\cdots m.
Exemplos: 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120. Repare que esses valores coincidem com os denominadores que foram dados.

Passo 3

Agora conectamos os dois padrões (potências de x e fatoriais). Observando os termos dados:
  • O primeiro tem numerador x^{0} e denominador 0! = 1.
  • O segundo tem numerador x^{1} e denominador 1! = 1.
  • O terceiro tem numerador x^{2} e denominador 2! = 2.
  • E assim por diante.
Portanto faz sentido propor que o termo cujo expoente de x é n tem denominador n!. Isso sugere a fórmula
a_{n}=\frac{x^{n}}{n!}
onde n começa em 0 (isto é, n=0,1,2,\ldots). Vou explicar por que essa escolha reproduz a sequência dada.

Passo 4

Verificação direta (para ficar tranquilo na prova): calculemos alguns termos com a fórmula proposta.
  • Para n=0:
a_{0}=\frac{x^{0}}{0!}=\frac{1}{1}=1,
que é o primeiro termo dado.
  • Para n=1:
a_{1}=\frac{x^{1}}{1!}=\frac{x}{1}=x,
que é o segundo termo dado.
  • Para n=2:
a_{2}=\frac{x^{2}}{2!}=\frac{x^{2}}{2},
que é o terceiro termo dado.
  • Para n=5:
a_{5}=\frac{x^{5}}{5!}=\frac{x^{5}}{120},
que coincide com o termo mostrado.
Como todos os casos testados batem com a sequência, a fórmula é consistente.

Passo 5

Observação sobre indexação (muito comum em exercícios): algumas vezes o enunciado pede o “ n-ésimo termo” assumindo que n começa em 1. Se você prefere essa convenção (índice começando em 1), basta deslocar o índice: para n=1,2,3,\ldots tem-se
a_{n}=\frac{x^{\,n-1}}{(n-1)!}.
Ambas as formas são equivalentes, apenas mudam o ponto onde o índice inicia.

Resposta

\displaystyle a_{n}=\frac{x^{n}}{n!} para n=0,1,2,\ldots
\displaystyle a_{n}=\frac{x^{\,n-1}}{(n-1)!} para n=1,2,3,\ldots

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