Determine se as sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
a_{n}=\frac{n}{2^{n+2}}

Passo 1

O enunciado dá a sequência a_{n}=\dfrac{n}{2^{n+2}}. Precisa-se:
  • Determinar se a sequência converge ou diverge.
  • Calcular o limite quando houver convergência.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A fórmula explícita de cada termo é a_{n}=\dfrac{n}{2^{n+2}}.
  • Não há outras condições ou parâmetros: n vai para o infinito pela sequência natural n=1,2,3,\dots.

Passo 2

Uma simplificação útil é tirar a constante fora da potência:
a_{n}=\frac{n}{2^{n+2}}=\frac{1}{2^{2}}\cdot\frac{n}{2^{n}}=\frac{1}{4}\cdot c_{n},
onde definimos c_{n}=\dfrac{n}{2^{n}}. Assim, para saber o comportamento de a_{n} basta estudar o comportamento de c_{n}, porque multiplicar por a constante \tfrac{1}{4} só escala os valores.

Passo 3

Vamos estudar c_{n}=\dfrac{n}{2^{n}}. Uma boa técnica para sequências definidas por razão entre termos é analisar a razão entre termos consecutivos:
\frac{c_{n+1}}{c_{n}}=\frac{\tfrac{n+1}{2^{n+1}}}{\tfrac{n}{2^{n}}} =\frac{n+1}{n}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1+\tfrac{1}{n}}{2}.
Note que
\lim_{n\to\infty}\frac{c_{n+1}}{c_{n}}=\frac{1+0}{2}=\frac{1}{2}.
Como esse limite é menor que 1 (especificamente \tfrac{1}{2}), isso indica que os termos diminuem com um fator assintótico menor que 1 — ou seja, há decaimento geométrico à longa distância, o que sugere que c_{n}\to 0.
Vou tornar isso rigoroso com um argumento simples e elementar: escolha r=\tfrac{3}{4} (qualquer número r tal que \tfrac{1}{2}<r<1 serve). Para n\ge 2 vale \tfrac{1}{n}\le\tfrac{1}{2}, então
\frac{c_{n+1}}{c_{n}}=\frac{1+\tfrac{1}{n}}{2}\le\frac{1+\tfrac{1}{2}}{2}=\frac{3}{4}=r.
Portanto, para todo n\ge 2 temos c_{n+1}\le r\,c_{n}. Aplicando essa desigualdade repetidamente (recorrência), para qualquer m\ge 0:
c_{n+m}\le r^{m} c_{n}\quad\text{para todo }n\ge 2.
Fixando n\ge 2 e mandando m\to\infty, o lado direito tende a 0 porque 0<r<1 implica r^{m}\to 0. Logo c_{n+m}\to 0 quando m\to\infty, isto é,
\lim_{n\to\infty} c_{n}=0.
(Comentario didático rápido: a ideia por trás disso é que a potência 2^{n} cresce muito mais rápido que o fator linear n; por isso n/2^{n} tende a zero. O cálculo pelo quociente mostra esse decaimento “quase geométrico”.)

Passo 4

Voltando para a_{n}, lembramos que a_{n}=\tfrac{1}{4}c_{n}. Como c_{n}\to 0, multiplicando por a constante \tfrac{1}{4} obtemos
\lim_{n\to\infty} a_{n}=\frac{1}{4}\cdot\lim_{n\to\infty} c_{n}=\frac{1}{4}\cdot 0=0.
Portanto a sequência converge e seu limite é 0.

Resposta

A sequência converge e \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=0.

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