Determine se as sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
. Precisa-se:
- Determinar se a sequência converge ou diverge.
- Calcular o limite quando houver convergência.
Informações relevantes que temos do enunciado:
- A fórmula explícita de cada termo é
. - Não há outras condições ou parâmetros:
vai para o infinito pela sequência natural .
Passo 2
Uma simplificação útil é tirar a constante fora da potência:
onde definimos
. Assim, para saber o comportamento de
basta estudar o comportamento de
, porque multiplicar por a constante
só escala os valores.
Passo 3
Vamos estudar
. Uma boa técnica para sequências definidas por razão entre termos é analisar a razão entre termos consecutivos:
Note que
Como esse limite é menor que
(especificamente
), isso indica que os termos diminuem com um fator assintótico menor que
— ou seja, há decaimento geométrico à longa distância, o que sugere que
.
Vou tornar isso rigoroso com um argumento simples e elementar: escolha
(qualquer número
tal que
serve). Para
vale
, então
Portanto, para todo
temos
. Aplicando essa desigualdade repetidamente (recorrência), para qualquer
:
Fixando
e mandando
, o lado direito tende a
porque
implica
. Logo
quando
, isto é,
(Comentario didático rápido: a ideia por trás disso é que a potência
cresce muito mais rápido que o fator linear
; por isso
tende a zero. O cálculo pelo quociente mostra esse decaimento “quase geométrico”.)
Passo 4
Voltando para
, lembramos que
. Como
, multiplicando por a constante
obtemos
Portanto a sequência converge e seu limite é
.
Resposta
A sequência converge e
.