Determine se as sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede que se determine se a sequência converge ou diverge e, no caso de convergência, calcular o limite. As informações relevantes são:
- A fórmula geral da sequência é
. - O índice
tende a .
O que se quer: decidir convergência/divergência e, se convergir, encontrar.
Passo 2
Intuição e ideia principal: sequências da forma
(chamadas sequências geométricas) têm comportamento simples dependendo do valor de
.
- Se
, então quando . - Se
, então para todo e o limite é . - Se
, então e a sequência diverge em módulo.
Aquie note que . Isso sugere que deve tender a . A seguir eu mostro duas demonstrações: uma pelo argumento de monotonicidade e outra por um argumento - (formal).
Passo 3
Demonstração básica usando monotonicidade e limite de uma equação:
- Observe que todos os termos são positivos:
para todo . - Compare termos consecutivos:
logo
. Portanto a sequência é estritamente decrescente.
3. Sendo decrescente e limitada inferiormente por , a sequência é convergente (teorema do monotone convergence — sequência monotona e limitada converge).
4. Seja . Tomando limite na relação
e usando que o limite existe, obtemos
3. Sendo decrescente e limitada inferiormente por
4. Seja
Subtraindo
dos dois lados,
Portanto a sequência converge e o limite é
.
Passo 4
Demonstração formal
-
(mostra concretamente como controlar a diferença para qualquer precisão):
Queremos mostrar que para todo existe
tal que, para todo
,
Queremos mostrar que para todo
Tomando logaritmo natural (note que
), a desigualdade
é equivalente a
Dividindo por
(número negativo) invertemos o sinal:
Assim, basta escolher
onde
é o teto (arredondamento para cima). Para esse
, todo
satisfaz
. Isso prova formalmente que
.
Resposta
A sequência converge e
.