Determine se as sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
a_{n}=\left(\frac{2}{3}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=\left(\frac{2}{3}\right)^{n}
e pede que se determine se a sequência converge ou diverge e, no caso de convergência, calcular o limite. As informações relevantes são:
  • A fórmula geral da sequência é a_{n}=(2/3)^{n}.
  • O índice n tende a +\infty.
    O que se quer: decidir convergência/divergência e, se convergir, encontrar \lim_{n\to\infty}a_{n}.

Passo 2

Intuição e ideia principal: sequências da forma r^{n} (chamadas sequências geométricas) têm comportamento simples dependendo do valor de r.
  • Se |r|<1, então r^{n}\to0 quando n\to\infty.
  • Se r=1, então r^{n}=1 para todo n e o limite é 1.
  • Se |r|>1, então |r^{n}|\to\infty e a sequência diverge em módulo.
    Aqui r=2/3 e note que 0<\tfrac{2}{3}<1. Isso sugere que a_{n}=(2/3)^{n} deve tender a 0. A seguir eu mostro duas demonstrações: uma pelo argumento de monotonicidade e outra por um argumento \varepsilon- N (formal).

Passo 3

Demonstração básica usando monotonicidade e limite de uma equação:
  1. Observe que todos os termos são positivos: a_{n}>0 para todo n.
  2. Compare termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(2/3)^{\,n+1}}{(2/3)^{\,n}}=\frac{2}{3}<1,
logo a_{n+1}<a_{n}. Portanto a sequência é estritamente decrescente.
3. Sendo decrescente e limitada inferiormente por 0, a sequência é convergente (teorema do monotone convergence — sequência monotona e limitada converge).
4. Seja L=\lim_{n\to\infty}a_{n}. Tomando limite na relação a_{n+1}=(2/3)\,a_{n} e usando que o limite existe, obtemos
L=(2/3)\,L.
Subtraindo (2/3)L dos dois lados,
L-\tfrac{2}{3}L=\tfrac{1}{3}L=0 \quad\Rightarrow\quad L=0.
Portanto a sequência converge e o limite é 0.

Passo 4

Demonstração formal \varepsilon- N (mostra concretamente como controlar a diferença para qualquer precisão):
Queremos mostrar que para todo \varepsilon>0 existe N tal que, para todo n\ge N,
\left|(2/3)^{n}-0\right|=(2/3)^{n}<\varepsilon.
Tomando logaritmo natural (note que \ln(2/3)<0), a desigualdade (2/3)^{n}<\varepsilon é equivalente a
n\ln\!\left(\tfrac{2}{3}\right)<\ln(\varepsilon).
Dividindo por \ln(2/3) (número negativo) invertemos o sinal:
n>\frac{\ln(\varepsilon)}{\ln(2/3)}.
Assim, basta escolher
N=\left\lceil \frac{\ln(\varepsilon)}{\ln(2/3)}\right\rceil,
onde \lceil\cdot\rceil é o teto (arredondamento para cima). Para esse N, todo n\ge N satisfaz (2/3)^{n}<\varepsilon. Isso prova formalmente que \lim_{n\to\infty}(2/3)^{n}=0.

Resposta

A sequência converge e \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

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