Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
5. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{5+n}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{5+n}
e pede para determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo da matéria aqui envolve testes de convergência absoluta (série de valores absolutos) e de convergência de séries alternantes (Teste de Leibniz).

Passo 2

Para verificar a convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos:
\sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{(-1)^{n}}{5+n}\right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+5}\,.
Como \frac{1}{n+5} comporta-se, para n grande, como \frac{1}{n}, essa série é comparável à série harmônica \sum 1/n, que diverge. Logo,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+5}\quad\text{é divergente},é
e a série original não é absolutamente convergente.

Passo 3

Agora usamos o Teste de Leibniz para séries alternantes. Definimos
a_{n} = \frac{1}{n+5}\,,
que satisfaz:
  1. a_{n}>0 para todo n.
  2. a_{n+1} = \frac{1}{n+6} < \frac{1}{n+5} = a_{n}, ou seja, a_{n} é decrescente.
  3. \lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+5} = 0.
Pelo Teste de Leibniz, a série alternante
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}a_{n}
converge sempre que essas três condições forem satisfeitas.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{5+n} é condicionalmente convergente.

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