Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
6. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n!}
quanto à convergência absoluta, condicional ou divergente. Vamos usar o conceito de convergência absoluta: se
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl|a_n\bigr|
convencer, então a série original é absolutamente convergente.

Passo 2

Calculamos a série dos módulos dos termos:
\sum_{n=1}^{\infty}\biggl|\frac{(-1)^{n-1}}{n!}\biggr| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}.
Para verificar a convergência, aplicamos o teste da razão a b_n=1/n!:
L =\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1} =0.
Como L<1, a série \sum_{n=1}^{\infty}1/n! converge.

Passo 3

Visto que \sum 1/n! converge, concluímos que a série original é absolutamente convergente (qualquer série absolutamente convergente é também convergente).

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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