Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
8. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}+1}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Para isso, vamos primeiro examinar a convergência absoluta, ou seja, a série
\sum_{n=1}^{\infty} \biggl|\frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}+1}\biggr| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+1}.

Passo 2

Comparemos \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+1} com a série p
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}},
que é convergente pois p=2>1. Como para todo n vale
n^{2}+1>n^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{n^{2}+1}<\frac{1}{n^{2}},
pela comparação direta concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+1}
converge. Logo a série dos valores absolutos converge, e portanto a série original é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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