Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
7. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{2 n+1}

Passo 1

O enunciado pede a classificação da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{2n+1}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar dois critérios: o teste da convergência absoluta e o teste de Leibniz (série alternada).

Passo 2

Estudamos primeiro a convergência absoluta. Consideramos
\sum_{n=1}^{\infty} \biggl|\frac{(-1)^{n+1}}{2n+1}\biggr| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n+1}.
Fazemos comparação com a série harmônica \sum1/n. Como para todo n\ge1 vale
\frac{1}{2n+1}>\frac{1}{3n},
e \sum1/(3n) diverge (é só uma constante 1/3 vezes a harmônica), concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n+1}
diverge. Logo não há convergência absoluta.

Passo 3

Agora aplicamos o teste de Leibniz à série original. Definimos a_n=1/(2n+1). Observamos que:
  1. a_n>0 para todo n.
  2. A sequência (a_n) é estritamente decrescente, pois
\frac{1}{2(n+1)+1}=\frac{1}{2n+3}<\frac{1}{2n+1}.
  1. \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n+1}=0.
    Pelas condições do teste de Leibniz, a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}a_n
converge.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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