Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Isso envolve entender conceitos de séries infinitas e testar a convergência usando métodos como o teste da razão. Vamos precisar simplificar a expressão e aplicar esse teste.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Sabemos que , então:
Então, a série fica:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão para determinar a convergência. Esse teste consiste em calcular o limite:
Se L < 1, a série converge absolutamente; se L > 1, ela diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.
Vamos calcular:
an = (n+2)(n+1)10^n
Então,
an+1 = (n+3)(n+2)10^n+1
Agora, a razão é:
an+1an = (n+3)(n+2)10^n+1 times 10^n(n+2)(n+1) = n+310(n+1)
Passo 4
Vamos calcular o limite dessa razão quando n tende ao infinito:
L = limn to infty n+310(n+1) = limn to infty n10n = 110
Como L = 110 < 1, pela regra do Teste da Razão, a série converge absolutamente.
Resposta
A série sumn=1^infty (n+2)!n!10^n é absolutamente convergente.