Fatore as expressões a seguir: (3x^2 - 8x - 16) / (2x^2 - 9x + 4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para fatorar uma fração algébrica. O enunciado é: fatorar (3x^2 - 8x - 16) / (2x^2 - 9x + 4). Isso envolve conhecimentos de fatoração de polinômios quadráticos tanto no numerador quanto no denominador. Vamos precisar encontrar os fatores desses polinômios para simplificar a fração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o numerador: . Para fatorar isso, buscamos dois números que multiplicados dão e que somados dão . Esses números são e . Então, reescrevemos o polinômio:
Agora, agrupamos os termos:
Fatorando cada grupo:
Perceba que temos um fator comum :
Então, o numerador fatorado é .

Passo 3

Agora, vamos fatorar o denominador: . Aqui, buscamos dois números que multiplicados dão e que somados dão . Esses números são -1 e . Reescrevemos o polinômio:
Agrupando os termos:
Fatorando cada grupo:
Fator comum :
Então, o denominador fatorado é .

Passo 4

Agora que temos o numerador e o denominador fatorados, vamos montar a fração:
Perceba que o fator aparece tanto no numerador quanto no denominador. Podemos simplificar a fração cancelando esse fator, desde que (para evitar divisão por zero).
Então, a fração simplificada fica:

Resposta

A fração fatorada e simplificada é .

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