Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty 8-n^3n!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a série sumn=1^infty 8 - n^3n! é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e testes de convergência, como o Teste da Razão. Vamos precisar entender um pouco sobre fatoriais e comportamento de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o Teste da Razão, que é super útil quando temos termos com fatoriais ou potências. Esse teste nos ajuda a determinar se uma série converge ou diverge calculando o limite da razão entre termos consecutivos.

Passo 3

Aplicando o Teste da Razão na nossa série, vamos calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Onde L = limn to infty | 8 - (n+1)^3(n+1)! cdot n!8 - n^3 | = limn to infty | 8 - (n+1)^3(n+1)(8 - n^3) | . Vamos substituir:

Passo 4

Simplificando a expressão dentro do limite:
8 - (n+1)^3 = 8 - (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) = -n^3 - 3n^2 - 3n + 7
Então, a razão fica:
L = limn to infty | -n^3 - 3n^2 - 3n + 7(n+1)(8 - n^3) |
Dividindo numerador e denominador por L = limn to infty | -1 - 3n - 3n^2 + 7n^3(1 + 1n)(8n^3 - 1) | = | -1-1 | = 1 :

Passo 5

No Teste da Razão, se | 8 - n^3n! | <= n^3 + 8n! <= 2n^3n! para n >= 2 , a série converge absolutamente; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo. Aqui, encontramos , então precisamos usar outro teste.
Vamos tentar o Teste da Comparação. Observando os termos da série:
Sabemos que cresce muito mais rápido que qualquer polinômio, então tende a zero rapidamente, indicando que a série converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^infty 8 - n^3n! é absolutamente convergente.

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