Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. sumn=1^infty e^-n n !

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e entender alguns testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série absolutamente convergente. Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos também converge. Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos diverge, então dizemos que ela é condicionalmente convergente.

Passo 3

Agora, vamos analisar a série dada: . Podemos reescrever como , então a série fica .

Passo 4

Para verificar a convergência dessa série, vamos usar o teste da razão. Esse teste nos ajuda a determinar o comportamento de séries onde os termos têm fatorial ou exponenciais.

Passo 5

Aplicando o teste da razão, consideramos o limite:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty (n+1)/e^n+1n/e^n = limn to infty n+1n cdot 1e = 1e limn to infty (1 + 1n) = 1e

Passo 6

Como , temos que , que é menor que 1. Segundo o teste da razão, se , a série converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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