Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty (-2)^n n^2(n+2)!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para gente descobrir se a série
sumn=1^infty (-2)^n n^2(n+2)!
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e aplicar alguns testes de convergência, como o Teste da Razão. Então, vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que a gente ignora o sinal negativo e verifica a convergência da série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (-2)^n n^2(n+2)! | = sumn=1^infty 2^n n^2(n+2)!

Passo 3

Agora, para testar a convergência dessa série, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste é útil quando os termos da série envolvem fatorias ou potências. A ideia é calcular o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual quando L = limn to infty an+1an tende ao infinito:
Se , a série converge; se ou diverge, e se , o teste não é conclusivo.

Passo 4

Vamos calcular essa razão para a nossa s��rie:
an = 2^n n^2(n+2)!
Então,
an+1an = 2^n+1 (n+1)^2(n+3)! times (n+2)!2^n n^2 = 2 times (n+1)^2(n+3)(n+2)

Passo 5

Simplificando a expressão:
an+1an = 2 times (n+1)^2(n+3)(n+2)
Expandindo o numerador:
(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1
E o denominador já está expandido. Para encontrar o limite quando limn to infty 2 times n^2 + 2n + 1n^2 + 5n + 6 = 2 times 1 + 2n + 1n^21 + 5n + 6n^2 = 2 times 1 + 0 + 01 + 0 + 0 = 2 , dividimos cada termo por :

Passo 6

O limite que é maior que 1. Segundo o Teste da Razão, se , a série dos valores absolutos diverge. Portanto, a série original não é absolutamente convergente.

Passo 7

Agora, vamos verificar se a série é condicionalmente convergente. Para isso, observamos que a série original tem termos alternados (devido ao bn = 2^n n^2(n+2)! ). Podemos aplicar o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos decrescem em módulo para zero, a série converge.
Vamos considerar:
limn to infty 2^n n^2(n+2)! = 0
Precisamos verificar se e se é decrescente.
Já vimos que:
Além disso, é decrescente para grande o suficiente, já que o fatorial no denominador cresce muito mais rápido que o numerador.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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