Determine se a série alternada converge e justifique sua resposta.
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1} \frac{k+1}{3 k+1}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série alternada
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\,\frac{k+1}{3k+1}.
O conteúdo principal é o teste de convergência para séries infinitas, em especial a condição necessária de convergência (o termo geral deve tender a zero) e o critério de Leibniz para séries alternadas.

Passo 2

Verificamos o limite do termo geral sem o sinal alternado:
a_k = \frac{k+1}{3k+1}.
Calculamos
\lim_{k\to\infty}a_k = \lim_{k\to\infty}\frac{k+1}{3k+1} =\frac{1}{3}\neq 0.
Como o termo geral não tende a zero, nenhuma série infinita (alternada ou não) pode convergir.

Resposta

A série diverge, pois \lim_{k\to\infty}(k+1)/(3k+1)=1/3\neq0, violando a condição necessária de convergência.

Exercícios relacionados