Use o teste da razão para determinar se a série converge. Se o teste for inconclusivo, aponte isso.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{5 k}.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{5\,k}
usando o teste da razão. O que vamos precisar é aplicar o critério que envolve o quociente \bigl|a_{k+1}/a_k\bigr|
e estudar seu limite quando k\to\infty.

Passo 2

Seja a_k = \frac{1}{5\,k}. Calculamos
\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| = \frac{\frac{1}{5\,(k+1)}}{\frac{1}{5\,k}} = \frac{k}{k+1}.
Agora tomamos o limite quando k\to\infty:
\lim_{k\to\infty} \frac{k}{k+1} = 1.

Passo 3

O teste da razão diz que se esse limite L<1 a série converge, se L>1 diverge e se L=1 o teste é inconclusivo. Aqui obtivemos
L = 1,
portanto o teste da razão é inconclusivo para esta série.

Resposta

O teste da razão é inconclusivo.

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