Determine se a série alternada é convergente ou divergente.
;
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série alternada
Vamos usar o critério de Leibniz para séries alternadas, que exige verificar duas condições sobre
-
é decrescente a partir de algum . -
.
Passo 2
Verificamos que
para todo
.
Como é decrescente em
e
é crescente para
, temos
Como
Portanto
é decrescente.
Passo 3
Calculamos o limite de
:
Assim, a segunda condição do critério de Leibniz também se satisfaz.
Passo 4
Pelo critério de Leibniz, a série alternada
converge. Além disso, como
para
grande, a série dos módulos
comporta-se como a série harmônica e, portanto, dá diverge, mostrando que a convergência é condicional.
Resposta
A série converge condicionalmente pelo critério de Leibniz.