Determine se a série alternada é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{n}\right);

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\,\sin\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr).
Vamos usar o critério de Leibniz para séries alternadas, que exige verificar duas condições sobre
b_{n} = \sin\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)\ge0:
  1. \{b_{n}\} é decrescente a partir de algum n.
  2. \lim_{n\to\infty}b_{n}=0.

Passo 2

Verificamos que b_{n}=\sin\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)>0 para todo n.
Como 1/n é decrescente em n e \sin(x) é crescente para x>0, temos
n_{1}<n_{2} \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{1}{n_{1}}>\tfrac{1}{n_{2}} \quad\Longrightarrow\quad \sin\bigl(\tfrac{1}{n_{1}}\bigr) >\sin\bigl(\tfrac{1}{n_{2}}\bigr).
Portanto \{b_{n}\} é decrescente.

Passo 3

Calculamos o limite de b_{n}:
\lim_{n\to\infty}\sin\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr) =\sin\bigl(\lim_{n\to\infty}\tfrac{1}{n}\bigr) =\sin(0)=0.
Assim, a segunda condição do critério de Leibniz também se satisfaz.

Passo 4

Pelo critério de Leibniz, a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\,\sin\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)
converge. Além disso, como \sin(1/n)\sim1/n para n grande, a série dos módulos \sum|\sin(1/n)| comporta-se como a série harmônica e, portanto, dá diverge, mostrando que a convergência é condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente pelo critério de Leibniz.

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