Determine se a série alternada é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n} \cos \left(\frac{1}{n}\right);

Passo 1

O exercício pede para a gente verificar se a série alternada \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\cos\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)
é convergente ou divergente. O tema envolvido é teste de convergência de séries: em especial, o teste do termo geral (condição necessária) e, em geral, o critério de Leibniz para séries alternadas.

Passo 2

Vamos olhar o comportamento do fator \cos\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr) quando n\to\infty. Como \tfrac{1}{n}\to 0, temos
\lim_{n\to\infty}\cos\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)=\cos(0)=1.

Passo 3

O termo geral da série é
a_n = (-1)^n\cos\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr).
Como \cos\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)\to 1, o limite
\lim_{n\to\infty}a_n
não é zero (na verdade oscila entre \pm1). Pelo teste do termo geral (se \lim a_n\neq 0 a série diverge), concluímos que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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