Determine se a série converge ou diverge.(SÉRIES ALTERNADAS)
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{n^{2}}{n^{2}+1};

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série alternada
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\,\frac{n^{2}}{n^{2}+1}.
O conteúdo envolve teste de séries alternadas (teste de Leibniz) e também o critério do termo geral.

Passo 2

Verificamos o comportamento do termo geral em valor absoluto:
a_n = \frac{n^2}{n^2+1}.
Calculamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}a_n =\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^2+1} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\tfrac1{n^2}} =1.

Passo 3

Como o termo geral não tende a zero (obtivemos \lim a_n=1\neq0), a série não pode convergir. Pelo critério de divergência (ou teste do termo geral), a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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