Determine se a série converge ou diverge.(SÉRIES ALTERNADAS)
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\operatorname{sen}(n+1 / 2) \pi}{1+\sqrt{n}};

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{\operatorname{sen}\bigl((n+\tfrac12)\pi\bigr)}{1+\sqrt{n}}.
O conteúdo é o teste de Leibniz para séries alternadas. Vamos reescrever o termo geral e verificar suas hipóteses: termo alternado, decrescente em módulo e cujo módulo tende a zero.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica
\operatorname{sen}\bigl(n\pi+\tfrac\pi2\bigr)=(-1)^n.
Logo, para todo n\ge0,
\operatorname{sen}\bigl((n+\tfrac12)\pi\bigr)=(-1)^n.
Assim o termo geral da série fica
a_n = \frac{(-1)^n}{1+\sqrt{n}}.

Passo 3

Definimos o módulo
b_n = \frac{1}{1+\sqrt{n}}.
  1. Para todo n, b_n>0.
  2. A sequência \{b_n\} é decrescente, pois à medida que n cresce, \sqrt{n} cresce e 1+\sqrt{n} também.
\lim_{n\to\infty}b_n = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\sqrt{n}} = 0.

Passo 4

Pelo teste de Leibniz para séries alternadas, como
  • a_n = (-1)^n b_n,
  • b_n é decrescente e
  • b_n\to0,
    a série
\sum_{n=0}^{\infty}a_n
converge.

Passo 5

Para ver que não há convergência absoluta, note que
\sum_{n=0}^{\infty}|a_n| = \sum_{n=0}^{\infty}b_n = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{1+\sqrt{n}}
e, por comparação com \frac1{\sqrt{n}} (cuja série diverge por teste da integral), concluímos que \sum b_n diverge.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge pelo teste de Leibniz, mas não converge absolutamente).

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