Determine se a série converge ou diverge.(SÉRIES ALTERNADAS)
;
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
O conteúdo é o teste de Leibniz para séries alternadas. Vamos reescrever o termo geral e verificar suas hipóteses: termo alternado, decrescente em módulo e cujo módulo tende a zero.
Passo 2
Usamos a identidade trigonométrica
Logo, para todo
,
Assim o termo geral da série fica
Passo 3
Definimos o módulo
- Para todo
, . - A sequência
é decrescente, pois à medida que cresce, cresce e também.
Passo 4
Pelo teste de Leibniz para séries alternadas, como
-
, -
é decrescente e -
,
a série
converge.
Passo 5
Para ver que não há convergência absoluta, note que
e, por comparação com
(cuja série diverge por teste da integral), concluímos que
diverge.
Resposta
A série converge condicionalmente (converge pelo teste de Leibniz, mas não converge absolutamente).