Determine se a série converge ou diverge.(SÉRIES ALTERNADAS)
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{2 n+1};

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{2n+1}
é convergente ou divergente. O conteúdo aqui é o Críterio de Leibniz para séries alternadas, que exige verificar que os termos em valor absoluto formam uma sequência positiva, decrescente e com limite zero.

Passo 2

Identificamos o termo da série como
a_n = \frac{1}{2n+1}
e o fator alternante como (-1)^{n-1}. Para aplicar o Critério de Leibniz, precisamos mostrar que:
  1. a_n>0 para todo n.
  2. a_{n+1} \le a_n (decrescente).
  3. \lim_{n\to\infty}a_n=0.

Passo 3

Verificação das condições:
  1. Claramente a_n=\tfrac{1}{2n+1}>0.
  2. Como 2(n+1)+1 = 2n+3>2n+1, segue
a_{n+1} = \frac{1}{2n+3} < \frac{1}{2n+1} = a_n,
logo (a_n) é decrescente.
3.
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n+1} = 0.

Passo 4

Pelas condições acima, o Critério de Leibniz garante que a série alternada
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}a_n
converge.

Passo 5

Para verificar se a convergência é absoluta ou condicional, consideramos a série de módulos
\sum_{n=1}^{+\infty}a_n = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2n+1}.
Essa série diverge pois, por comparação com a série harmônica \sum1/n, os termos \tfrac{1}{2n+1} têm mesma ordem de grandeza. Logo, não há convergência absoluta.

Resposta

A série converge condicionalmente pelo Critério de Leibniz (é convergente, mas não absolutamente convergente).

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