Determine se a série converge ou diverge.(SÉRIES ALTERNADAS)
;
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. O conteúdo aqui é o Críterio de Leibniz para séries alternadas, que exige verificar que os termos em valor absoluto formam uma sequência positiva, decrescente e com limite zero.
Passo 2
Identificamos o termo da série como
e o fator alternante como
. Para aplicar o Critério de Leibniz, precisamos mostrar que:
-
para todo . -
(decrescente). -
.
Passo 3
Verificação das condições:
- Claramente
. - Como
, segue
logo
é decrescente.
3.
3.
Passo 4
Pelas condições acima, o Critério de Leibniz garante que a série alternada
converge.
Passo 5
Para verificar se a convergência é absoluta ou condicional, consideramos a série de módulos
Essa série diverge pois, por comparação com a série harmônica
, os termos
têm mesma ordem de grandeza. Logo, não há convergência absoluta.
Resposta
A série converge condicionalmente pelo Critério de Leibniz (é convergente, mas não absolutamente convergente).