Determine se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3 n^{2}+4}{2 n^{2}+3 n+5};

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty} a_n \quad\text{onde}\quad a_n = \frac{3n^{2}+4}{2n^{2}+3n+5}
converge ou diverge. O conteúdo principal é o teste do termo geral (ou teste da divergência): se \lim_{n\to\infty}a_n\neq0, a série não pode convergir.

Passo 2

Vamos calcular o limite do termo geral quando n\to\infty. Como os polinômios do numerador e denominador têm mesmo grau, dividimos coeficientes principais:
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{3n^{2}+4}{2n^{2}+3n+5} = \frac{3}{2}.

Passo 3

O resultado \lim_{n\to\infty}a_n = \tfrac{3}{2}\neq0 ativa o teste da divergência: toda série cujo termo geral não tende a zero diverge.

Resposta

A série diverge.

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