Determine se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3 n+4}{2 n^{2}+3 n+5};

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3n+4}{2n^{2}+3n+5}
converge ou diverge.
Conteúdo: testes de convergência de séries de termos positivos. Vamos usar o Teste da Comparação Limite, comparando com a série harmônica \sum 1/n.

Passo 2

Analisamos o comportamento para n\to\infty. O termo geral
a_{n} = \frac{3n+4}{2n^{2}+3n+5}
tem grau do numerador 1 e do denominador 2, logo
a_{n}\sim \frac{3n}{2n^{2}} = \frac{3}{2n}.

Passo 3

Aplicamos o Teste da Comparação Limite com b_{n} = 1/n. Calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{3n+4}{2n^{2}+3n+5}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n(3n+4)}{2n^{2}+3n+5} = \frac{3}{2}.
Como esse limite é um número finito e positivo \tfrac{3}{2}, a_{n} e b_{n} têm o mesmo comportamento assintótico.

Passo 4

Sabemos que a série harmônica
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}
é divergente. Pelo Teste da Comparação Limite, a divergência de \sum b_{n} implica a divergência de \sum a_{n}.

Resposta

A série diverge.

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