Determine se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3^{n}}{2^{n}+5^{n}};

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty} a_n,
onde
a_n = \frac{3^n}{2^n + 5^n}.
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries de termos positivos. Vamos usar o teste de comparação assintótico (limit comparison) com uma série geométrica.

Passo 2

Para n grande, o termo 5^n domina 2^n, pois
2^n + 5^n = 5^n\Bigl((2/5)^n + 1\Bigr)\sim 5^n.
Então
a_n = \frac{3^n}{2^n + 5^n} \sim \frac{3^n}{5^n} = \Bigl(\tfrac{3}{5}\Bigr)^n.
Isso sugere comparar com a série geométrica \sum (3/5)^n, que converge porque \lvert 3/5\rvert<1.

Passo 3

Aplique o teste de comparação assintótico escolhendo
b_n = \Bigl(\tfrac{3}{5}\Bigr)^n.
Calcule o limite
L = \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{3^n}{2^n + 5^n}}{\frac{3^n}{5^n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{5^n}{2^n + 5^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{(2/5)^n + 1} = 1.
Como L é finito e positivo e \sum b_n converge, segue que \sum a_n também converge.

Passo 4

Portanto, por comparação com a série geométrica de razão 3/5, concluímos que a série original converge.

Resposta

A série converge.

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