Determine se a série converge ou diverge:
\sum_{m=1}^{\infty} \sin ^{m}\left(\frac{1}{\sqrt{m}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{m=1}^{\infty} \sin^{m}\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{m}}\bigr).
O conteúdo aqui é o teste da raiz para séries infinitas, pois cada termo da soma é da forma a_{m}=\sin^{m}(1/\sqrt{m}). Vamos usar o fato de que, se
L = \limsup_{m\to\infty} \sqrt[m]{|a_{m}|}
satisfaz L<1, então a série converge absolutamente.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz ao termo
a_{m} = \sin^{m}\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{m}}\bigr).
Calculamos
\sqrt[m]{|a_{m}|} =\sqrt[m]{\bigl|\sin^{m}(1/\sqrt{m})\bigr|} = \bigl|\sin\bigl(1/\sqrt{m}\bigr)\bigr|.

Passo 3

Agora estudamos o limite
L = \lim_{m\to\infty} \bigl|\sin\bigl(1/\sqrt{m}\bigr)\bigr|.
Como 1/\sqrt{m}\to0 e \sin x\sim x para x\to0, temos
\sin\bigl(1/\sqrt{m}\bigr)\;\longrightarrow\;0 \quad\text{quando }m\to\infty.
Logo
L = 0.

Passo 4

Como L=0<1, o teste da raiz nos garante que a série converge absolutamente. Portanto a série original converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{m=1}^{\infty} \sin^{m}\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{m}}\bigr) converge.

Exercícios relacionados