Determine se a série converge ou diverge:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{-2 n}{n+1}\right)^{5 n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{-2n}{n+1}\right)^{5n}
converge ou diverge. O conteúdo aqui é séries numéricas e vamos usar o teste da raiz enésima para decidir.

Passo 2

O teste da raiz enésima diz que, se a_{n} é o termo geral da série, definimos
L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\lvert a_{n}\rvert}.
Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, a série diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

No nosso caso
a_{n} = \left(\frac{-2n}{n+1}\right)^{5n},
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\sqrt[n]{\lvert a_{n}\rvert} = \sqrt[n]{\left|\left(\frac{-2n}{n+1}\right)^{5n}\right|} = \left|\frac{-2n}{n+1}\right|^{5} = \left(\frac{2n}{n+1}\right)^{5}.

Passo 4

Calculamos o limite
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2n}{n+1}\right)^{5} = \left(\lim_{n\to\infty}\frac{2n}{n(1+1/n)}\right)^{5} = (2)^5 = 32.

Passo 5

Como o valor L=32 é maior que 1, pelo teste da raiz enésima a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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