Determine se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{e^{n}};

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{e^{n}}.
O conteúdo envolvido são séries numéricas, em particular séries geométricas.

Passo 2

Reconhecemos que
\frac{1}{e^{n}} = \Bigl(\frac{1}{e}\Bigr)^{n},
logo a série é geométrica de primeiro termo
a = \frac{1}{e}
e razão
r = \frac{1}{e}.

Passo 3

Para uma série geométrica \sum_{n=1}^{\infty} a\,r^{\,n-1} sabemos que ela converge se, e somente se, \lvert r\rvert<1. Aqui temos \lvert r\rvert = 1/e < 1, portanto a série converge.

Passo 4

Além de convergir, a soma da série geométrica iniciando em n=1 é
\sum_{n=1}^{\infty} \Bigl(\frac{1}{e}\Bigr)^{n} = \frac{\frac{1}{e}}{1 - \frac{1}{e}} = \frac{1}{e - 1}.

Resposta

A série converge. Sua soma é \displaystyle \frac{1}{e - 1}.

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