Determine se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{\pi / 2}};

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\pi/2}}.
O conteúdo envolvido é o teste da série p (ou série de Riemann), que diz que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}
converge se, e somente se, p>1.

Passo 2

Identificamos que a nossa série é exatamente uma série p com
p = \frac{\pi}{2}.
Basta comparar esse valor de p com 1 para decidir a convergência.

Passo 3

Como \pi\approx3{,}14, temos
p = \frac{\pi}{2} \approx \frac{3{,}14}{2} = 1{,}57 > 1.
Pelo teste da série p, se p>1 então a série converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\pi/2}} converge.

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