Determine se a série converge ou diverge.
;
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
converge ou diverge.
Conteúdo envolvido: séries de termos não negativos e testes de comparação, em particular o teste da série-p (p-série).
Conteúdo envolvido: séries de termos não negativos e testes de comparação, em particular o teste da série-p (p-série).
Passo 2
Para séries de termos positivos, se os termos gerais
se comportam como uma constante vezes
para
grande, podemos usar o teste da p-série. Aqui notamos que, quando
,
logo
Isso sugere comparar com a série
, que é convergente (p-série com
).
Passo 3
Aplicamos o teste da comparação por limite. Definimos
Calculamos
Como este limite é finito e estritamente positivo, pelas condições do teste,
e
têm o mesmo comportamento de convergência.
Passo 4
Sabendo que
converge (p-série com
), concluímos que
também converge.
Resposta
A série converge.