Determine se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2 n^{2}-3 n-5};

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2n^{2}-3n-5}
converge ou diverge.
Conteúdo envolvido: séries de termos não negativos e testes de comparação, em particular o teste da série-p (p-série).

Passo 2

Para séries de termos positivos, se os termos gerais a_{n} se comportam como uma constante vezes 1/n^{p} para n grande, podemos usar o teste da p-série. Aqui notamos que, quando n\to\infty,
2n^{2}-3n-5\sim 2n^{2},
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\frac{1}{2n^{2}-3n-5}\sim \frac{1}{2n^{2}}=\frac{1}{2}\,\frac{1}{n^{2}}.
Isso sugere comparar com a série \sum 1/n^{2}, que é convergente (p-série com p=2>1).

Passo 3

Aplicamos o teste da comparação por limite. Definimos
a_{n} = \frac{1}{2n^{2}-3n-5}, \qquad b_{n} = \frac{1}{n^{2}}.
Calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{2n^{2}-3n-5}}{\frac{1}{n^{2}}} = \lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{2n^{2}-3n-5} = \frac{1}{2}.
Como este limite é finito e estritamente positivo, pelas condições do teste, a_{n} e b_{n} têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 4

Sabendo que \sum b_{n}=\sum 1/n^{2} converge (p-série com p=2>1), concluímos que \sum a_{n}=\sum 1/(2n^{2}-3n-5) também converge.

Resposta

A série converge.

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