Determine se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2 n^{2}+3 n+5};

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n^{2}+3n+5}
converge ou diverge. O conteúdo é séries numéricas e precisamos usar teste de comparação com uma p-série, sabendo que \sum1/n^{p} converge se e somente se p>1.

Passo 2

Analisamos o termo geral
a_{n}=\frac{1}{2n^{2}+3n+5}.
Para todo n\ge1 vale
2n^{2}+3n+5\ge2n^{2},
logo
0< a_{n} \le \frac{1}{2n^{2}}.

Passo 3

Como a p-série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
converge p=2>1, segue que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n^{2}}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}<\infty.
Pelo teste de comparação direta, a série original também converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados