Determine se a série converge ou diverge.
;
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. O conteúdo principal aqui é o Teste de Leibniz para séries alternantes e, em seguida, o teste de convergência absoluta (série
).
Passo 2
Primeiro, simplificamos o índice para colocar a série na forma padrão. Defina
Quando
,
, e quando
,
. Além disso,
Logo, a série vira
Passo 3
Para aplicar o Teste de Leibniz, escrevemos os termos na forma
, onde
Devemos verificar duas condições:
-
é positiva e não crescente para . De fato, para , a função tem derivada negativa, logo . -
Passo 4
Como ambas as hipóteses do Teste de Leibniz estão satisfeitas, concluímos que
converge.
Passo 5
Para checar convergência absoluta, analisamos
Esta é uma série
com
, logo diverge.
Resposta
A série converge condicionalmente (converge pelo Teste de Leibniz, mas diverge em módulo).