Determine se a série converge ou diverge.
\sum_{n=4}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n-3}};

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=4}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n-3}}
converge ou diverge. O conteúdo principal aqui é o Teste de Leibniz para séries alternantes e, em seguida, o teste de convergência absoluta (série p).

Passo 2

Primeiro, simplificamos o índice para colocar a série na forma padrão. Defina
k = n - 3.
Quando n=4, k=1, e quando n\to\infty, k\to\infty. Além disso,
(-1)^{n-1} = (-1)^{(k+3)-1} = (-1)^{k+2} = (-1)^k.
Logo, a série vira
\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{\sqrt{k}}.

Passo 3

Para aplicar o Teste de Leibniz, escrevemos os termos na forma (-1)^k b_k, onde
b_k = \frac{1}{\sqrt{k}}.
Devemos verificar duas condições:
  1. b_k é positiva e não crescente para k\ge1. De fato, para x>0, a função f(x)=1/\sqrt{x} tem derivada negativa, logo b_{k+1}\le b_k.
  2. \displaystyle \lim_{k\to\infty}b_k = \lim_{k\to\infty}\frac{1}{\sqrt{k}}=0.

Passo 4

Como ambas as hipóteses do Teste de Leibniz estão satisfeitas, concluímos que
\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{\sqrt{k}}
converge.

Passo 5

Para checar convergência absoluta, analisamos
\sum_{k=1}^{+\infty}\bigl|(-1)^k/\sqrt{k}\bigr| = \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{k}}.
Esta é uma série p com p=\tfrac12\le1, logo diverge.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge pelo Teste de Leibniz, mas diverge em módulo).

Exercícios relacionados