Determine se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2 n+5};

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série alternante
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2n+5}.
O conteúdo usado será o Critério de Leibniz (série alternante) e um teste de comparação para a convergência absoluta.

Passo 2

Definimos a_n = \frac{1}{2n+5}. Observamos que para todo n\ge1:
  1. a_n>0.
  2. \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n+5}=0.
  3. A sequência (a_n) é monótona decrescente, pois para n\ge1
a_{n+1} = \frac{1}{2(n+1)+5} = \frac{1}{2n+7} < \frac{1}{2n+5} = a_n.

Passo 3

Pelo Critério de Leibniz, uma série da forma
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n
com a_n>0, a_n decrescente e \lim_{n\to\infty}a_n=0 converge. Logo
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n+5}
converge.

Passo 4

Para verificar a convergência absoluta, consideramos
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n-1}}{2n+5}\right| = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n+5}.
Como \frac{1}{2n+5}\ge\frac{1}{3n} para n\ge1 e \sum1/(3n) diverge (é proporcional à \sum1/n), temos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n+5}
diverge. Portanto não há convergência absoluta.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge pelo Critério de Leibniz, mas diverge em valor absoluto).

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