Determine se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{3 n-2};

Passo 1

O enunciado nos dá a série alternante
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{n}{3n-2}
e pede para determinar se ela converge ou diverge. Vamos usar o teste da divergência (termo geral) e o teste da série alternante (Leibniz).

Passo 2

Para qualquer série, se o termo geral não tende a zero, a série diverge. Aqui o termo sem o sinal é
b_n = \frac{n}{3n-2}.
Calculamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}b_n =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{3n-2} =\frac{1}{3}.

Passo 3

Como
\lim_{n\to\infty}b_n = \tfrac{1}{3}\neq 0,
o termo geral da série não tende a zero. Pelo teste da divergência, a série não pode convergir.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados