Questão 8. Aproxime o valor de \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{n^{3}} com duas casas decimais.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar com duas casas decimais a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n^{3}}.
O conteúdo é o Teste de Leibniz para séries alternadas e o cálculo de soma parcial com controle de erro.

Passo 2

Observamos que os termos em valor absoluto
a_{n}=\frac{1}{n^{3}}
são positivos, decrescentes e tendem a zero. Pelo Teste de Leibniz, a série converge e o erro ao truncar na soma parcial S_{N} satisfaz
\bigl|S - S_{N}\bigr|\le a_{N+1}.

Passo 3

Para ter duas casas decimais garantidas precisamos de \bigl|S - S_{N}\bigr|<0,5\times10^{-2}=0,005. Então escolhemos N tal que
a_{N+1}=\frac{1}{(N+1)^{3}}\le0,005.
Resolve-se (N+1)^{3}\ge200, logo N+1\ge\sqrt[\,3]{200}\approx5,85 e basta N=5.
Calculamos
\begin{aligned} S_{1}&=1,\\\ S_{2}&=1-\frac{1}{2^{3}}=0,875,\\\ S_{3}&=0,875+\frac{1}{3^{3}}\approx0,912037,\\\ S_{4}&\approx0,912037-\frac{1}{4^{3}}=0,896412,\\\ S_{5}&\approx0,896412+\frac{1}{5^{3}}=0,904412. \end{aligned}
E o próximo termo é
a_{6}=\frac{1}{6^{3}}\approx0,00463<0,005,
garantindo que o erro em usar S_{5} é menor que 0,005.

Passo 4

Como o verdadeiro valor S está em
\bigl[\,S_{5}-a_{6},\,S_{5}\bigr]=[0,899782,\;0,904412],
ambos os extremos arredondam para 0,90 com duas casas decimais.

Resposta

0,90

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