Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente ache a sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(2^{-n}+3^{n}\right)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(2^{-n}+3^{n}\bigr),
que é soma termo a termo de duas séries. Vamos usar o critério da série geométrica: a série \sum a\,r^n converge se |r|<1 (e vale a\,r/(1-r)) e diverge se |r|\ge1.

Passo 2

Analisamos a parte \sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}=\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(\tfrac12\bigr)^{n}.
Aqui a=(\tfrac12)^1=\tfrac12 e r=\tfrac12 satisfaz |r|<1, logo esta série converge e sua soma é
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(\tfrac12\bigr)^n =\frac{\tfrac12}{1-\tfrac12} =1.

Passo 3

Agora a parte \sum_{n=1}^{\infty}3^{n}.
É uma série geométrica com a=3^1=3 e r=3, mas como |r|=3>1, esta série diverge.

Passo 4

Como a soma de duas séries diverge sempre que uma delas diverge, concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(2^{-n}+3^{n}\bigr)
é divergente.

Resposta

A série diverge.

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