Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente ache a sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{3^{n}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar convergência e soma da série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{3^{n}}\Bigr).
O conteúdo principal aqui é a soma de séries geométricas, para as quais usamos a fórmula
\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}=\frac{a}{1-r},\quad |r|<1.

Passo 2

Pela linearidade da soma de séries, escrevemos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}} +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}}.
Para a primeira série temos termo inicial a=\tfrac12 e razão r=\tfrac12, então
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}} =\frac{\tfrac12}{1-\tfrac12}=1.
Para a segunda, a=\tfrac13 e r=\tfrac13, logo
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}} =\frac{\tfrac13}{1-\tfrac13}=\frac12.

Resposta

A série converge e sua soma é
1+\tfrac12=\tfrac{3}{2}.

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