Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente ache a sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2}{3 n}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2}{3\,n}.
O conteúdo é séries infinitas e testes de convergência. Vamos usar o fato de que a série harmônica \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}
é divergente e que multiplicar por constante não muda convergência ou divergência.

Passo 2

Fatoramos a constante fora da soma:
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2}{3\,n} = \frac{2}{3}\,\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}.

Passo 3

Aplicamos o teste da integral à série harmônica. Considere a integral
\int_{1}^{N}\frac{1}{x}\,dx = \bigl[\ln(x)\bigr]_{1}^{N} = \ln(N).
Como \ln(N)\to+\infty quando N\to+\infty, a série \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n} diverge.

Passo 4

Multiplicar por \tfrac{2}{3} não altera o fato de divergência, logo a série original \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2}{3\,n}
é divergente.

Resposta

A série diverge.

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