Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente ache a sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{2 n}-\frac{1}{3 n}\right)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{2n}-\frac{1}{3n}\Bigr)
O conteúdo principal é séries numéricas e iremos usar:
  1. Propriedade de linearidade de séries (diferença de séries).
  2. Conhecimento de que a série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} diverge.

Passo 2

Separamos a série em duas séries simples usando linearidade:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n} \;-\; \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3n}.

Passo 3

Cada termo dessas séries é um múltiplo da harmônica. De fato,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n} =\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}, \qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3n} =\frac{1}{3}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.

Passo 4

Logo a série original fica
\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \;-\; \frac{1}{3}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} = \Bigl(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\Bigr)\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} = \frac{1}{6}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.

Passo 5

Sabemos que \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} diverge.
Multiplicar uma série divergente por constante não muda o fato de divergir.

Resposta

A série diverge.

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