Determine se a série é convergente ou divergente Se for convergente, calcule sua soma:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{n-1}}+\frac{2}{3^{n-1}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{2^{n-1}}+\frac{2}{3^{n-1}}\Bigr)
que é soma de duas séries geométricas. Vamos usar o fato de que uma série geométrica
\sum_{k=0}^{\infty} ar^k
converge se \lvert r\rvert<1 e tem soma \tfrac{a}{1-r}.

Passo 2

Separamos a série em duas partes:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n-1}} \quad\text{e}\quad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{3^{n-1}}.

Passo 3

Na primeira parte temos a=1 e r=\tfrac12, pois
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n-1}} =\sum_{k=0}^{\infty}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^k =\frac{1}{1-\tfrac12} =2.

Passo 4

Na segunda parte temos a=2 e r=\tfrac13, pois
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{3^{n-1}} =\sum_{k=0}^{\infty}2\Bigl(\tfrac13\Bigr)^k =2\cdot\frac{1}{1-\tfrac13} =2\cdot\frac{3}{2} =3.

Resposta

A série converge e sua soma é
2 + 3 = 5.

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