Determine se a série é convergente ou divergente Se for convergente, calcule sua soma:
\sum_{n=2}^{\infty} \ln \frac{n^{2}-1}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=2}^{\infty} \ln\frac{n^{2}-1}{n^{2}}
converge e, em caso afirmativo, calcular sua soma. O conteúdo envolve testes de convergência para séries infinitas e propriedades de logaritmos, em particular usar que n^{2}-1=(n-1)(n+1) e a regra \ln(ab)=\ln a+\ln b.

Passo 2

Para simplificar o termo geral, escrevemos
\ln\frac{n^{2}-1}{n^{2}} =\ln\bigl((n-1)(n+1)\bigr)-\ln\bigl(n^{2}\bigr) =\ln(n-1)+\ln(n+1)-2\ln n.

Passo 3

Definimos a soma parcial
S_{N}=\sum_{n=2}^{N}\ln\frac{n^{2}-1}{n^{2}} =\sum_{n=2}^{N}\bigl[\ln(n-1)+\ln(n+1)-2\ln n\bigr].
Separamos em três somas e trocamos índices:
\sum_{n=2}^{N}\ln(n-1)=\sum_{k=1}^{N-1}\ln k,\quad \sum_{n=2}^{N}\ln(n+1)=\sum_{k=3}^{N+1}\ln k,\quad \sum_{n=2}^{N}\ln n=\sum_{k=2}^{N}\ln k.

Passo 4

Combinando as três somas termo a termo, observa-se que os logaritmos de k para 3\le k\le N-1 cancelam, restando apenas as pontas:
S_{N}=\ln(N+1)-\ln2-\ln N =\ln\frac{N+1}{2N}.

Passo 5

Tomando o limite quando N\to\infty,
\lim_{N\to\infty}S_{N} =\lim_{N\to\infty}\ln\frac{N+1}{2N} =\ln\frac12 =-\ln2.
Portanto, a série converge e sua soma é -\ln2.

Resposta

A série converge e
\sum_{n=2}^{\infty}\ln\frac{n^{2}-1}{n^{2}} = -\ln2.

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