Determine se a série é convergente ou divergente. Se a série for convergente, ache a sua soma. \sum_{n=0}^{\infty}\left(\cos \frac{1}{3} \pi\right)^{n}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série \sum_{n=0}^{\infty}\left(\cos \frac{1}{3}\pi\right)^{n}
é convergente ou divergente e, se for convergente, encontrar a sua soma.
Informações dadas: o termo geral da série é \left(\cos \frac{1}{3}\pi\right)^{n} para n=0,1,2,\dots. Não há outras informações ocultas.
Passo 2
Identificação do tipo de série (por observação do termo geral). Note que o termo geral é uma potência de uma constante: \left(\cos \frac{1}{3}\pi\right)^{n}. Séries desse tipo são séries geométricas, cujos termos têm a forma r^{n} com r sendo a razão comum. Aqui podemos tomar
r=\cos\left(\frac{\pi}{3}\right).
Vou usar a propriedade padrão das séries geométricas porque ela encaixa exatamente no formato do termo geral.
Passo 3
Fórmula e condição de convergência da série geométrica (aula rápida). Para uma razão r fixa, a soma parcial até N da série geométrica é
S_{N}=\sum_{n=0}^{N} r^{n}.
Podemos provar a fórmula fechada para S_{N} multiplicando por (1-r) (supondo r\neq 1):
Para a soma infinita, tomamos o limite N\to\infty. Se |r|<1, então r^{N+1}\to 0 quando N\to\infty, logo a série converge e
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}=\frac{1}{1-r}.
Se |r|\ge 1, a série diverge (porque os termos não tendem a zero ou as potências não vão para zero).
Explicação intuitiva de por que r^{N+1}\to 0 quando |r|<1: potências consecutivas de um número com magnitude menor que 1 ficam cada vez menores (por exemplo, \tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{8},\dots), então o limite é zero.
Passo 4
Calcular a razão r no caso concreto. Usando a trigonometria conhecida (círculo trigonométrico), temos
\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}.
Portanto a razão da série é \displaystyle r=\frac{1}{2}.
Passo 5
Verificar a condição de convergência e aplicar a fórmula. Como
|r|=\left|\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}<1,
a série converge. Aplicando a fórmula da soma da série geométrica: